《经管类概率论与数理统计大数定律及中心极限定理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《经管类概率论与数理统计大数定律及中心极限定理(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科,而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律,常常采用极限定理的形式去刻画,由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛,本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。5.1切比雪夫 Chebyshev 不等式一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差,而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。 定理 51(切比雪夫不等式)设随机变量 X 的期望 E(X)及方差 D(X)存在,则对任意小正数 0,有: 或:例 5-1设 X 是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定 =2,
2、2.5,实际计算 P|X-E(X)|,并验证切比雪夫不等式成立。【答疑编号:10050101 针对该题提问】解 X 的分布律为所以当 =2 时,当 =2.5 时,可见,切比雪夫不等式成立。例 5-2设电站供电网有 10 000 盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是 0.7,而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在 6 8007 200的概率。【答疑编号:10050102 针对该题提问】解:设 X 表示在夜晚同时开着的电灯的数目,它服从参数 n=10 000,p=0.7 的二项分布。于是有E(X)=np=10 0000.7=7 000,D(X)=npq=10 00
3、00.70.3=2100,P6 8001,X1,X2,Xn 是相互独立的。此时,若所有的 Xi 又具有相同的分布,则称 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列。定理 5-3设 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列 E(X i)=,D(X i)= 2(i=1,2)均存在,则对于任意 0 有 (不证) 这一定理说明:经过算术平均后得到的随机变量在统计上 具有一种稳定性,它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中,大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述;同时,也是数理统计的重要理论基础。5.3 中心极限定理 5.3.1 独立同分布序列的中心极限定理定理 5-4
4、 设 X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列,且具有相同数学期望和方差 E(Xi)= ,D(Xi)=2(i=1,2, ) 。记随机变量的分布函数为 Fn(x) ,则对于任意实数 x,有 (不证) 其中 ( x)为标准正态分布函数。由这一定理知道下列结论:(1)当 n 充分大时,独立同分布的随机变量之和 的分布近似于正态分布N(n, n2) 。我们知道,n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。 不论 X1,X2,Xn,独立同服从什么分布,当 n 充分大时,其和 Zn 近似服从正态分布。(2)考虑 X1,X2,Xn,的平均值,有它的标准化随机变量为 ,即为
5、上述 Yn。因此 的分布函数即是上述的Fn(x) ,因而有由此可见, 当 n 充分大时,独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布 例 5-3对敌人的防御地段进行 100 次射击,每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量,其数学期望为 2,均方差为 1.5,求在 100 次射击中有 180 颗到 220 颗炮弹命中目标的概率。【答疑编号:10050104 针对该题提问】解 设 Xi 为第 i 次射击时命中目标的炮弹数(i=1,2,100) ,则 为 100 次射击中命中目标的炮弹总数,而且 X1,X 2,X 100 同分布且相互独立。由定理 5-4 可知,随机变量 近似服从标准正态分布,
6、故有例 5-4某种电器元件的寿命服从均值为 100(单位:小时)的指数分布。现随机抽出16 只,设它们的寿命是相互独立的,求这 16 只元件的寿命的总和大于 1 920 小时的概率。【答疑编号:10050105 针对该题提问】解 设第 i 只电器元件的寿命为 Xi=(i=1,2,16 ),E(X i)=100,D(X i)=100 2=10 000,则 是这 16 只元件的寿命的总和。E(Y)=10016=1 600,D(Y )= 160 000,则所求概率为:5.3.2 棣莫弗(De Moivre )-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理,它是定理 5-4 的特殊
7、情况。定理 5-5(棣莫弗拉普拉斯中心极限定理)设随机变量 Zn 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 发生的概率,则对于任意实数 x其中 q=1-p,(x)为标准正态分布函数。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论:(1)在贝努利试验中,若事件 A 发生的概率为 p。又设 Zn 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频数,则当 n 充分大时,Z n 近似服从正态分布 N(np,npq) 。(2)在贝努利试验中,若事件中 A 发生的概率为 p, 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频率,则当 n 充分大时, 近似服从正态分布【例 5-5】用中心极限定理得到求
8、解 5.1 例 5-2 的概率。【答疑编号:10050106 针对该题提问】解 设同时开着的灯数为 X,则X-B(1000,0.7) ,np=10000.7=7000,【例 5-6】设某单位内部有 1000 台电话分机,每台分机有 5%的时间使用外线通话,假定各个分机是否使用外线是相互独立的,该单位总机至少需要安装多少条外线,才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用?【答疑编号:10050107 针对该题提问】解:把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验,则各次试验相互独立,设 X 为1000 台分机中同时使用外线的分机数,则XB(1000,0.05) ,np=10000.05
9、=50,根据题意,设 N 为满足条件的最小正整数由于 (-7.255)0,故有查标准正态分布表得 (1.65)=0.9505,故有 由此 N61.37 即该单位总机至少需要 62 条外线,才能以 95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。小结本章考核要求(一)知道切比雪夫不等式或并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX| 或|X-EX| 的概率。(二)知道贝努利大数定律其中 n 是试验次数,m 是 A 发生次数,p 是 A 的概率,它说明试验次数很多时,频率近似于概率。(三)知道切比雪夫不等式大数定律它说明在大量试验中,随机变量 取值稳定在期望附近。(四)知道独立同分布中心极限定理若记 YnF n(x) ,则有它说明当 n 很大时,独立同分布的随机变量之和 近似服从正态 N(n,n 2)所以,无论 n 个独立同分布的 X1,X2,Xn 服从何种分布,n 很大时,X 1+X2+Xn 却近似正态N(n,n 2).(五)知道棣莫弗拉普拉斯中心极限定理若 Zn 表示 n 次独立重复事件发生次数,即Z nB(n,p),则有即 Zn 近似正态 N(np,np (1-p ) 2) 。并会用中心极限定理计算简单应用问题。本章作业习题 5.1:1,2,3,4习题 5.3:1,2,3,4,5,7教材 124 页,自测题 5一、1,2,3二、填空题 1,2,3,4,5