《经管类概率论与数理统计大数定律及中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经管类概率论与数理统计大数定律及中心极限定理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机现象的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容非常广泛，本章中主要介绍大数定律与中心极限定理。5.1切比雪夫 Chebyshev 不等式一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差，而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的。下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式。 定理 51（切比雪夫不等式）设随机变量 X 的期望 E（X）及方差 D（X）存在，则对任意小正数 0，有: 或：例 5-1设 X 是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定 =2,
2、2.5，实际计算 P|X-E（X）|，并验证切比雪夫不等式成立。【答疑编号：10050101 针对该题提问】解 X 的分布律为所以当 =2 时，当 =2.5 时，可见，切比雪夫不等式成立。例 5-2设电站供电网有 10 000 盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是 0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在 6 8007 200的概率。【答疑编号：10050102 针对该题提问】解：设 X 表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数 n=10 000,p=0.7 的二项分布。于是有E（X）=np=10 0000.7=7 000,D（X）=npq=10 00
3、00.70.3=2100,P6 8001,X1,X2,Xn 是相互独立的。此时，若所有的 Xi 又具有相同的分布，则称 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列。定理 5-3设 X1,X2,Xn,是独立同分布随机变量序列 E（X i）=,D（X i）= 2（i=1,2）均存在，则对于任意 0 有 （不证） 这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上 具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。5.3 中心极限定理 5.3.1 独立同分布序列的中心极限定理定理 5-4
4、 设 X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 E（Xi）= ，D（Xi）=2（i=1,2, ） 。记随机变量的分布函数为 Fn（x） ，则对于任意实数 x，有 （不证） 其中 （ x）为标准正态分布函数。由这一定理知道下列结论：（1）当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 的分布近似于正态分布N（n， n2） 。我们知道，n 个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。中心极限定理进一步告诉我们。 不论 X1,X2,Xn,独立同服从什么分布，当 n 充分大时，其和 Zn 近似服从正态分布。（2）考虑 X1,X2,Xn,的平均值，有它的标准化随机变量为 ，即为
5、上述 Yn。因此 的分布函数即是上述的Fn（x） ，因而有由此可见， 当 n 充分大时，独立同分布随机变量的平均值 的分布近似于正态分布 例 5-3对敌人的防御地段进行 100 次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为 2，均方差为 1.5，求在 100 次射击中有 180 颗到 220 颗炮弹命中目标的概率。【答疑编号：10050104 针对该题提问】解 设 Xi 为第 i 次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,100） ，则 为 100 次射击中命中目标的炮弹总数，而且 X1，X 2，X 100 同分布且相互独立。由定理 5-4 可知，随机变量 近似服从标准正态分布，
6、故有例 5-4某种电器元件的寿命服从均值为 100（单位：小时）的指数分布。现随机抽出16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和大于 1 920 小时的概率。【答疑编号：10050105 针对该题提问】解 设第 i 只电器元件的寿命为 Xi=（i=1,2,16 ）,E（X i）=100，D（X i）=100 2=10 000，则 是这 16 只元件的寿命的总和。E（Y）=10016=1 600，D（Y ）= 160 000，则所求概率为：5.3.2 棣莫弗（De Moivre ）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理 5-4 的特殊
7、情况。定理 5-5（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设随机变量 Zn 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对于任意实数 x其中 q=1-p,（x）为标准正态分布函数。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：（1）在贝努利试验中，若事件 A 发生的概率为 p。又设 Zn 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频数，则当 n 充分大时，Z n 近似服从正态分布 N（np,npq） 。（2）在贝努利试验中，若事件中 A 发生的概率为 p， 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的频率，则当 n 充分大时， 近似服从正态分布【例 5-5】用中心极限定理得到求
8、解 5.1 例 5-2 的概率。【答疑编号：10050106 针对该题提问】解 设同时开着的灯数为 X，则X-B（1000，0.7） ，np=10000.7=7000,【例 5-6】设某单位内部有 1000 台电话分机，每台分机有 5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？【答疑编号：10050107 针对该题提问】解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试验，则各次试验相互独立，设 X 为1000 台分机中同时使用外线的分机数，则XB（1000，0.05） ，np=10000.05
9、=50,根据题意，设 N 为满足条件的最小正整数由于 （-7.255）0，故有查标准正态分布表得 （1.65）=0.9505，故有 由此 N61.37 即该单位总机至少需要 62 条外线，才能以 95%以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用。小结本章考核要求（一）知道切比雪夫不等式或并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX| 或|X-EX| 的概率。（二）知道贝努利大数定律其中 n 是试验次数，m 是 A 发生次数，p 是 A 的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。（三）知道切比雪夫不等式大数定律它说明在大量试验中，随机变量 取值稳定在期望附近。（四）知道独立同分布中心极限定理若记 YnF n（x） ，则有它说明当 n 很大时，独立同分布的随机变量之和 近似服从正态 N（n,n 2）所以，无论 n 个独立同分布的 X1,X2,Xn 服从何种分布，n 很大时，X 1+X2+Xn 却近似正态N（n,n 2）.（五）知道棣莫弗拉普拉斯中心极限定理若 Zn 表示 n 次独立重复事件发生次数，即Z nB（n,p）,则有即 Zn 近似正态 N（np,np （1-p ） 2） 。并会用中心极限定理计算简单应用问题。本章作业习题 5.1：1，2，3，4习题 5.3：1，2，3，4，5，7教材 124 页，自测题 5一、1，2，3二、填空题 1，2，3，4，5
