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1、文新教育集团个性化教案教学主题：周期问题二（数列中的周期问题）教学重难点：正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；要确定解题的突破口，解决实际问题。教学过程：1.导入问题导入例如：1，2，1，2，1，2， 那么第 18 个数是多少？2.呈现例 1.小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3你知道他写的第 81 个数是多少吗？你能求出这 81 个数相加的和是多少吗？解析：从排列上可以看出这组数按 7，0，2，5，3 依次重复排列，那么每个周期就有 5 个数81 个数则是 16 个周期还多 1 个，第 1 个数是 7，所以第 81 个数是 7，186每个周
2、期各个数之和是： 再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案 ，所以，这 81 个数相加的和是 2797629例 2. （25 个 4），积的个位数是几？42 24 个 2 相乘，积末位数字是几？解析：按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，奇数个 4 相乘得数的末位数字是 4，偶数个 4 相乘得数的末位数是 6，所以 1，2525个 4 相乘，积的末位数字是 4按照乘数的个数，末位数字的规律是 2，4，8，6，2，4，8，6，4 个一组，所以 24 个 2 相乘，积末位数字是 626例 3.12 个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图从 1 号同学开始，
3、顺时针传 l00 次，手绢应在谁手中？从 1 号同学开始，逆时针传 l00 次，手绢又在谁手中？ 从 1 号同学开始，先顺时针传 l56 次，然后从那个同学开始逆时针传 143次，再顺时针传 107 次，最后手绢在谁手中？文新教育集团个性化教案 121110987 6 5 4321解析：因为一圈有 l2 个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从 1 号开始，顺时针传 l00 次，我们先用除法求传了几圈、还余几次 (圈) 4(次)从 1 号同学1028顺时针传 4 次正好传到 5 号同学手中与第一小题的道理一样，先做除法 (圈) 4(次)这 4 次是逆时针传，正好传1028到 9 号同学手
4、中(如图)先顺时针传 156 次，然后逆时针传 l43 次，相当于顺时针传 (次)；再顺时针1563传 l07 次，与 13 次合并，相当于顺时针传 (次)， (圈)，手绢又回37020到 l号同学手中121110987 6 5 4321例 4.甲、乙两人对一根 3 米长的木棍涂色。首先，甲从木棍的端点开始涂黑色 5 厘米，间隔 5 厘米不涂色，再涂 5 厘米黑色，这样交替做到底。然后，乙从木棍同一端点开始留出 6 厘米不涂色，然后涂 6 厘米黑色，再间隔 6 厘米不涂色，交替做到底，最后木棍上没有被涂黑色部分的总长度是多少？解析：此题最好画图为同学们示意：在前 30 厘米内未被涂黑的是：1，
5、3，5，在 31-60 厘米内的是：4，2，因此 60 厘米一个周期：（1+3+5+4+2）300/60=75 厘米 .例 5.右图中，任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891，那么 B代表多少？解析：根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔 2 个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是：B=891 (99)=11例 6.实 验 室 里 有 一 只 特 别 的 钟 ， 一 圈 共 有 20 个 格 每 过 7 分 钟 ， 指 针 跳 一 次 ， 每 跳 一次 就 要 跳 过 9 个 格 ， 今 天 早 晨 8 点 整 的 时 候 ， 指
6、针 恰 好 从 0 跳 到 9， 问 ： 昨 天 晚 上 8 点 整 的时 候 指 针 指 着 几 ？文新教育集团个性化教案解析：昨晚 8 点至今早 8 点，共经历 (分钟) ， ，说明从今6012772016早 8 点整起，7 分钟，7 分钟往回数，昨晚 8 点后，第 1 次指针跳是 8 点 6 分，直到今早7 点 53 分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了 102 次由于每次跳 9 格，所以共跳了 (格) 每 20 格一圈，9，因此从“0”位开始，往回倒 45 圈，还要倒回 18 格，正是昨晚912045188 点时指针所指处： ，因此昨晚 8 点整时指针正指着 220例 7.有一个 11
7、1 位数，各位数字都是 1，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？解析：我们可以用列表的方法寻求周期通过表格我们可以发现，余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0” ，从第二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5）因为 ，所以这个数除以 6 后余数的末位数字是 3；137因为 2，所以这个数除以 6 后商的末位数字是 8()6例 8.求 的个位数字.289解析：由 128432 知， 的个位数与 的个位数相同，等于 6。由1284292 141 知， 的个位数与 的个位数相同，等于 9.因为 69，在减法中需向十9位借位，所以所求个位数字为 16
8、97. 3.练习与检测1.根据下面一组数列的规律求出 51 是第几个数？1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17解析：观察题目可知数列个位数字每九个数一组，十位数字依次增加，04 共五个数，则可列式为：591=46 ，即 51 为第 46 个数。2.紧接着 1989 后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如， ，在 9 后面写 2， ，在 2 后面写 8得到一串数字：87291819892868，问：这串数字从 1 开始，往右数，第 l999 个数字是几？这 1999 个数字的和是多少？解析：根据题意，写出这列数的前面部分数字：198928
9、68842868842“286884”这 6 个数字重复出现，周期是 6第 1999 个数字是：因为 ，所以，第 l999 个数字是 6(194)632文新教育集团个性化教案这 1999 个数字的和是：(198)(2684)32(86)2719561953. 8 个队员围成一圈做传球游戏，从号开始，按顺时针方向向下一个人传球在传球的同时，按顺序报数当报到 72 时，球在几号队员手上？876 5 4321解析：将 8 名队员看作一组，每组报 8 个数，72 个数可以分成几组： 组，没7289有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在 8 号队员手上4.课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成
10、一个圆圈依次报数甲报“1” ，乙报“2” ，丙报“3” ，丁报“4” ，这样每人报的数总比前一个人多 1问“34”是谁报的？“71”是谁报的？解析：解析：根据题意，甲从“1”开始报数，一共报了 34 次因为是 4 个人在报数，所以报 4 次就要重复一遍，也就是说是以 4 为一个周期重复的34 里面有 8 个周期还余 2次，所以“34”应是重复 8 遍以后第二个人报的，即乙报的 3，所以“71”71应是第三个人报的，即丙报的5.有一个 1111 位数，各位数字都是 1，这个数除以 6，余数是几？商的末位数字是几？解析：余数出现的周期为 3（1，5，3）；第 1 个“1”上相对应的商为“0”，从第
11、二个“1”开始，商的末位数字的周期为 3（1，8，5），因为 1，所以这个数37除以 6 后余数的末位数字是 1；因为 ，所以这个数除以 6 后商的末尾数()7字是 54.小结周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。主要方法有观察法、逆推法、经验法等。主要问题有年月日、星期几问题等。5.作业1. 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在，一只红跳蚤从标有数字的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里一只黑跳蚤也从标有数字的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落在另一个圆圈里问：
12、这两个圆文新教育集团个性化教案圈里数字的乘积是多少？0111098 76 543212. 如右图，把 18 八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从 1 号开始按顺时针方向前进 329 个位置，第二天接着按逆时针方向前进 485 个位置，第三天又顺时针前进 329 个位置，第四天再逆时针前进 485 个位置 如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的 1 号位置？3. 如右图，有 16 把椅子摆成一个圆圈，依次编上从 1 到 16 的号码.现在有一人从第1 号椅子顺时针前进 328 个，再逆时针前进 485 个，又顺时针前进 328 个，再逆时针前进485 个，又顺时针前进 136 个
13、，这时他到了第几号椅子？4. 算式 的得数的尾数是几？36762123（1作业参考答案1.解析：解答此类问题时，只要能发现旋转周期现象，并充分加以利用，就能较快找到解题的关键本题中，不难看出这是一个与周期性有关的问题，电子跳蚤每跳 12 步就回到了原来的位置，如此循环，周期为 12（1）因为 ，所以，红跳蚤跳了 1991 步后落到了标有数字 11 的912651 圆圈（2）因为 ，所以，黑跳蚤跳了 1949 步后落到了标有数字 7 的圆4 圈（3）求的乘积是 .172.解析：根据题意，小球按顺时针、逆时针、顺时针、逆时针两天一个周期循环变换方向.每一个周期中，小球实际上是按逆时针方向前进 48
14、5-329=156（个）位置. 1568=194，就是说，每个周期（2 天）中，小球是逆旋转了 19 周后再逆时针前文新教育集团个性化教案进 4 个位置. 要使小球回到原来的 1 号位，至少应逆时针前进 8 个位置. 84=2（个）周期，22=4（天），所以至少要用 4 天，小球才又回到原来“ 1”号位置.3.解析：这个人顺时针前进了 328+328+136=792 个位置，由于 79216=498，所以他走到 9 号位置.又这个人逆时针共退回 485+485=970 个位置，由于 970166010，因此这个人到了第 15(=9+16-10)号椅子 .4.解析：这是一道很经典的题目，分别找规律，我们只看个位数就够了：7：7，9，3，1，367/4=91 3，个位数是 3 ；2：2，4，8，6，762/4=190 2，个位数是 4 ；3：3，9，7，1，123/4=30 3，个位数是 7 ；因此个位数：（3+4）7=49 .
