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1、1利用 Excel 进行 FFT 和 Fourier 分析的基本步骤实例：杭州市 2000 人口分布密度 根据 2000 年人口普查的街道数据经环带(rings) 平均计算得到的结果，数据由冯健博士处理。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。第一步，录入数据在 Excel 中录入数据不赘述（见 表 1） 。表 1 原始数据序列 表 2 补充后的数据序列第二步，补充数据由于 Fourier 变换（FT）一般是借助快速 Fourier 变换（Fast Fourier Transformation, FFT）算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2N（ N=1,2,3,
2、， ） 。如果数据序列长度不是 2N，就必须对数据进行补充或者裁减。现在数据长度是 26，介于 24=16 到 25=32 之间，而 26 到 32 更近一些，如果裁减数据，就会损失许多信息。因此，采用补充数据的方式。补充的方法非常简单，在数据序列后面加 0，直到序列长度为 32=25 为止（表 2） 。当然，延续到 64=26 也可以，总之必须是 2 的整数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。2第三步，Fourier 变换的选项设置沿着工具（Tools）数据分析 （Data Analysis）的路径打开数据分析复选框（图 1） 。图 1 数据分析（Data Analys
3、is）的路径在数据分析选项框中选择傅立叶分析（Fourier Analysis） （图 2） 。图 2 数据分析（Data Analysis）在 Fourier 分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L） ”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图 3a） 。a 3b图 3 傅立叶分析（Fourier Analysis）注意：如果“输入区域”设为“$B$2:$B$33” ，则不选“标志位于第一行（L） ”（图 3b） 。表 3 FFT的结果4第四步，输出 FFT 结果选项设置完毕以后，确定（OK） ，立
4、即得到 FFT 结果（表 3） 。显然，表 3 给出的都是复数（complex numbers） 。假定一个数据序列表为 f(t)，则理论上 Fourier 变换的结果为=Ff(t), ( )detfFtj)()( 表 3 中给出的正是相应于 F()的复数，这里 为角频率。第五步，计算功率谱Excel 好像不能自动计算功率谱，这需要我们利用有关函数进行计算。计算公式为 )(1)()( 22BATFP式中 A 为复数的实部（real number） ，B 为虚部（imaginary number） ，T 为假设的周期长度，实则补充后的数据序列长度。对于本例，T=32。注意复数的平方乃是一个复数与
5、其共轭（conjugate）复数的乘积，若 F()=a+bj，则|F()| 2=(a+bj)*(a-bj)=a2+b2。这样，根据表 3中的 FFT 结果，我们有 1497036/)0857.21(2582/.364.09其余依次类推。显然，这样计算非常繁琐。一个简单的办法是调用 Excel 的模数（modulus）计算函数ImAbs，方法是在函数类别中找 “其他” ，在其他类中找“ 工程”类，在工程类中容易找到ImAbs 函数（图 4） 。确定以后，弹出一个选项框，选中第一个 FFT 结果，确定，得到 218701.857（图 5） 。我们知道，复数的模数计算公式为 2/12)(BAM图 4
6、 模数计算函数5对于第一个 FFT 结果，由于虚部为 0，模数就是其自身，即 857.210)857.21(/2但对于后面真正的复数，就不一样了。抓住第一个模数所在的单元格的右下角往下一拉，或者用鼠标双击该单元格的右下角，立即得到全部模数。图 5 计算模数最后，用模数的 2 次方除以数据长度 32 立即得到全部功率谱密度结果（表 4） 。表 4 功率谱密度下表是利用 Mathcad2000 计算的功率谱密度（表 5） 。利用 Mathcad 进行 FFT，过程要简单得多，只要调用 FFT 命令，可以直接给出各种结果（包括图表） 。但 Mathcad 的计算不求精度，有一定误差。将 Mathca
7、d 的变换结果 copy 到 Excel 中进行比较，可以看到，如6果不计误差，二者是一致的（表 4） 。表 5 借助 Mathcad2000进行 FFT的结果Power0 10123456789101112131415161.49510 96.75110 82.94810 81.02610 83.18810 72.47610 72.98510 72.44610 71.17210 76.23810 68.90810 61.07310 71.04210 79.4210 66.49410 64.7910 64.69710 6第六步，功率谱分析功率谱分析目前主要用于两个方面，一是侦测系统变化的某种周
8、期或者节律，据此寻找因果关系（解释）或者进行某种发展预测（应用） ；二是寻找周期以外的某些规律，据此对系统的时空结构特征进行解释。表 6 以对称点（f=0.5）为界，从完整的数据序列中截取一半7上面基于杭州人口密度数据的 FFT，实际上是一种空间自相关分析过程，属于 FT 的第二类应用。这种过程不以寻找周期为目标，实际上也不存在任何周期。不论目标是什么，都必须借助频谱图（频率功率谱密度图）进行分析和解释。下面第一步就是绘制频谱图。首先要计算频率，线频或角频都可以，因为二者相差常数倍（2） 。一个简单的办法是，用 0 到 T=32 的自然数列除以 T=32（ 表 6） 。如果采用的频率变化范围
9、01，则绘制的频谱图是对称的（图 6） 。实际上，另一半是多余的，Mathcad2000 自动生成的频谱图就没有考虑另外一半儿（图 7） 。因此，我们可以以对称点 f=0.5 为界，截取前面一半的数据，在 Excel 上绘制频谱图（图 8） 。020000000040000000060000000080000000010000000001200000000140000000016000000000 0.2 0.4 0.6 0.8 1频 率功率谱密度图 6 对称的频谱图（基于完整的数据序列）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50510811091.510920001.495 1094.69
10、7 106Powerj0.50 freqj图 7 Mathcad2000生成的频谱图下图是常用的频谱图形式，如果存在周期，则在尖峰突出的最大点可以找到。这个图中是没有显示任何周期的，但并不意味着没有重要信息。在理论上，如果人口密度分布服从负指数模型，则其频率与功率谱之间应该满足如下关系 2)(fP8为了检验这种推断，不妨用下式进行拟合 fP)(这正是 噪声（ -noise）表达式。020000000040000000060000000080000000010000000001200000000140000000016000000000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5频 率功率谱密度图
11、8 利用 Excel绘制的频谱图（常用形式）为了拟合幂指数模型，去掉 0 频率点，结果得到, R2=0.94947983.1254)(ffP多种模型比较的结果，发现幂指数模型的拟合效果最好（图 9） 。将图 9 转换成对数刻度，拟合效果就尤其明确（图 10） 。显然，=1.79832。P(f) = 1280514.1795 f-1.7983R2 = 0.949401000000002000000003000000004000000005000000006000000007000000008000000000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5频 率功率谱密度图 9 频谱图的模型拟合结果（去
12、掉 0频点）9P(f) = 1280514.1795 f-1.7983R2 = 0.94941.E+061.E+071.E+081.E+090.01 0.1 1频 率功率谱密度图 10 双对数频谱图利用模型及其参数，我们可以对杭州市人口分布特征及其变化进行系统分析。但是，深入的分析仅仅借助一个参数是不够的。具体的分析过程将用专门的文章进行论述。最后说明一点：前面的公式 2)(1)(FTP给出的是功率谱。有时在理论上进行讨论时，采用下式,2)(S这里给出的是能量谱。能量谱的计算假定数据序列无穷长，积分范围一般从负无穷到正无穷；功率谱主要用于对实际遇到的有限长度的数据。二者在数值上相差常数倍。因此，在理论讨论时，采用能量谱公式比较方便；在具体应用时采用功率谱公式便于比较。二者的数理本质是一致的，故一般行文过程中无需澄清二者的关系。
