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1、1第三单元比例教材分析第三单元比例教材分析 本单元教学“数与代数”领域的比例知识，还教学“空间与图形”领域的图形放大或缩小，以及比例尺的知识，把不同领域的教学内容有机融合是教材的一大特点。图形的放大或缩小是认识比例的现实素材，比例能揭示图形放大或缩小的数学含义，而且解决图形放大或缩小、比例尺的实际问题要应用比例的知识。把两个领域的内容融合能发挥数形结合的作用，提高教学效率。 2全单元编排七道例题和三个练习，把全部内容分成三段教学。例1例 3 以及练习九，主要教学图形放大、缩小的含义，比例的意义。例 4、例 5 以及练习十，主要教学比例的基本性质、解比例，解决图形放大或缩小的实际问题。例 6、例
2、 7 以及练习十一，教学比例尺的知识和实际应用。另外，还编排了实践活动面积的变化 ，研究图形放大或缩小时边长与面积的变化关系。 1联系实际，建立图形放大、缩小的概念。 数学里图形放大或缩小的含义与生活中的放大、缩小经常是不同的。生活中会把图形由小变大视作放大，由大变小视为缩小。数学里的图形放大或缩小，它的每条边都按一定的比例变化，即每条边的长度都放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一。例 1 教学图形放大、缩小的含义，先观察在电脑上放大长方形的现象，分别研究长方形放大后与放大前长、宽的关系。然后联系长方形放大揭示3图形放大的数学含义。教材依次讲了三句话：首先是“长方形的每条边放大到原来的 2
3、倍 ”，这是对长放大到原来的 2 倍，宽也放大到原来 2 倍的概括。然后是 “放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 21” ，用比描述图形放大时边的长度变化。这里把放大前、后两个长方形的长称为对应边，宽也称为对应边，必须把放大后图形的边的长度作为前项，原来图形的边的长度作为后项。最后是“把原来的长方形按 21 的比放大” ，让学生体会由于放大后与放大前两个长方形的对应边的长度关系是 21，因而把图形的放大说成 21。这里还示范了图形放大的规范表述“按 21 的比放大” 。在初步理解图形放大的基础上，教材引导学生主动迁移，认识图形的缩小。让学生说说缩小后的长方形的长、宽分别是原来长方形的几分
4、之几，解释图形按 12 缩小的含义，初步形成图形缩小的概念。 4例 2 在方格纸上画图形。 “利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小”是标准的要求，因为方格能直观显示每条边的变化情况，操作方便，有利于概念的应用和巩固。教材引导学生在画图前先思考放大（或缩小）后图形的长、宽各是几格，应用概念进行推理，为正确画图做准备。在画图以后，还要观察原来的图形、放大后的图形、缩小后的图形，再次体会图形放大、缩小时，每条边的长度都按相同的比变化。练习九第 1 题能使学生进一步清晰图形放大、缩小的概念。方格纸上的号图形是号长方形放大后的图形，因为号图形的长、宽分别是号图形长、宽的3/2；号图形是号长方形
5、缩小后的图形，因为号图形的长、宽分别是号长方形长、宽的 1/2。而号、号图形与号长方形比，各条边没有按相同的比变化，它们都不是号长方形缩小或放大后的图形。 根据图形的放大或缩小，可以写出许多关于线段长度的比。在例3 的情境中，长方形照片放大后与放大前的长的比是 9.66.4，宽的比是 64；放大前长方形长与宽的比是 6.44，放大后长方形长与宽的比是 9.66。前面两个比在例 1 和例 2 里已经多次接触，例3 引导学生写出后面两个比，利用这两个比教学比例的意义。先分5别计算 6.44 和 9.66 的比值，从比值都是 1.6 得出这两个比相等，可以写成 6.44=9.66 或 6.4/4=9
6、.6/6，指出表示两个比相等的式子叫做比例，突出比例是比值相等的两个比组成的等式。然后让学生思考放大后与放大前两张照片长的比和宽的比也能组成比例吗，经历写出比、算比值、发现比值相等、组成比例的过程，体会比例的意义。 “练一练”的四组比中，如果同组的两个比的比值相等，就可以组成比例；如果比值不相等，两个比就不能组成比例，进一步巩固比例的概念。 长方形放大后与放大前的长的比和宽的比相等，是例 1 教学的图形放大的含义。在例 3 中，又发现长方形放大前长与宽的比和放大后长与宽的比相等，从新的视角体会了图形放大的含义。例 3 既从放大前长与宽的比和放大后长与宽的比组成比例，又从放大后与放大前长的比和宽
7、的比组成比例，引导学生利用比例的意义进一步完善图形放大的概念。 6除了图形放大与缩小，从常见的数量关系中也能找到比例。练习九第 3 题，一辆汽车上午行驶的路程和时间的比与下午行驶的路程和时间的比能组成比例。第 7 题购买同一种铅笔，总价与数量的比能组成比例；大小不同的正方形，周长与边长的比能组成比例。这些素材能加强对比例的理解，还为以后教学正比例作了铺垫。 2联系实际，发现和应用比例的基本性质。 例 4 教学比例的基本性质，大致分五步进行：第一步在按比例缩小三角形的情境中写出一些比例，为研究比例的基本性质准备充分的素材；第二步教学比例的内项和外项，这是认识比例基本性质必须具备的概念；第三步观察
8、已经写出的几个比例，初步发现比例的两个外项的积等于两个内项的积；第四步重新写出一些比例，看看是否具有同样的规律，并在字母表示的比例上概括这样的规律；第五步指出发现的规律是比例的基本性质，并在写成分数形式的比例上体会这一性质。 7把三角形按比例缩小，联系图形缩小的含义，学生可能想到缩小后与缩小前两个三角形底的比和高的比相等，或者高的比和底的比相等，还可能想到缩小前、后每个三角形底与高的比相等，或者高与底的比相等。于是，在交流时出现四个不同的比例。教材指出36=24 里的 3 和 4 是比例的外项，6 和 2 是比例的内项，让学生说说其他三个比例的内项和外项各是几。学生容易发现，如果 6和 2 同
9、时做比例的外项，那么 3 和 4 是比例的内项；如果 6 和 2 同时做比例的内项，那么 3 和 4 是比例的外项，从而体会这几个比例两个外项的积等于两个内项的积。再写出一些比例，看看是否有同样的规律，检验前面四个比例的规律是不是适用于所有的比例。通过更丰富的实例，进一步体会两个外项的积等于两个内项的积是所有比例的共同规律。在此基础上，把比例用字母表示成ab=cd，写出 ad=bc，概括了上面的规律，通过符号化的方式表示了比例的基本性质。 8“试一试”应用比例的基本性质，判断 3.61.8 和 0.50.25 能否组成比例。思考线索应该是： 如果这两个比能够组成比例，那么3.60.25 的积与
10、 1.80.5 的积应该相等；如果这两个比不能组成比例，那么 3.60.25 的积与 1.80.5 的积不相等。于是分别计算3.60.25 和 1.80.5，并比较两个积的大小。 “练一练”是“试一试”的延伸，由于 612=418，所以 6、4、18 和 12 这四个数能组成比例。而 4、5、6 和 8 这四个数不能组织积相等的两个乘式，因而它们不能组成比例。把 6、4 、18 和 12 组成比例，可以把 6和 12 同时作外项，4 和 18 同时作内项，也可以把 6 和 12 同时作内项，4 和 18 同时作外项，一共能写出 8 个不同的比例。对于每个学生来说，只要求写出一个比例，并在交流时
11、知道还能写出其他比例，不要求每个学生都写出 8 个比例。 例 5 应用比例的知识解决图形放大的实际问题，包括根据图形放大的含义列出比例，以及利用比例的基本性质解比例两个内容。先根据“照片放大后与放大前长的比和宽的比能组成比例”这个知识写比例，发现要写的比例里有三个项是已知数，另一个项是未知数，于是想到把放大后照片的宽设为 x 厘米，列出比例解决问题。这个比例也是一个方程，教材写出了解方程的第一步 6x=13.54，让学9生思考这一步计算的依据是什么，体会这里应用了比例的基本性质，最后还指出求比例中的未知项叫做解比例。 “试一试”解写成分数形式的比例，进一步熟悉比例的内项和外项。已经写出“1.2
12、x=” 引导学生应用比例的基本性质，体会这是解比例的关键步骤。 “练一练”解分别由整数、分数或小数组成的三个比例，要应用整数、分数或小数的乘、除计算。教材里没有出现分数与小数共同组成的比例，是因为标准不要求进行分数与小数的乘、除计算。 3以图形的放大、缩小为基础，教学比例尺。 平面图是把现实的平面按一定比例缩小绘制成的，从平面图想像10实际平面的数学活动是把图形放大，比例尺刻画了平面图和实际平面之间的放大、缩小关系。 例 6 教学比例尺的意义，首先要让学生在实际情境中识别实际距离和图上距离，这些是与比例尺有关的概念。其次分别写出草坪长的图上距离和实际距离的比，宽的图上距离和实际距离的比。在写比
13、的时候，要指导学生统一图上距离与实际距离的单位，便于写比和化简比。通过交流，体会把实际距离改写成以厘米为单位的数量，写出的是整数比，把图上距离改写成以米为单位的数量，写出的是小数比，前者比后者更方便一些。例题的教学重点是建立比例尺的概念，先指出图上距离和实际距离的比叫做平面图的比例尺，由于学生已经两次写出这样的比，所以建立比例尺的概念是感性认识的抽象提升；再用数量关系式进一步表达比例尺的意义和计算方法，教材里同时出现“图上距离实际距离=比例尺”和“图上距离/实际距离=比例尺” 。 11比例尺 11000 表示图上距离是实际距离的 1/1000，实际距离是图上距离的 1000 倍，这是对比例尺
14、11000 的意义作出的具体解释。教材让学生说出这些关系，进一步体会比例尺的意义。从图上距离与实际距离间的倍数关系，还能得到图上距离 1 厘米表示实际距离 10 米，这就引出了比例尺的另一种表示形式 线段比例尺。数值比例尺和线段比例尺都是比例尺的表示形式，它们可以相互转化。例题从数值比例尺引出线段比例尺， “练一练”第 1 题分别解释数值比例尺与线段比例尺的具体含义，两种形式的比例尺之间的关系就能得到沟通。第 2 题求平面图的比例尺，学生在例题里进行过写出图上距离与实际距离的比并化简的活动，应该有能力独立完成这道题。 例 7 已知平面图的比例尺以及明华小学到少年宫的图上距离，求两地之间的实际距
15、离。由于学生对比例尺 18000 的意义会有不同的解释，因而可能出现不同的解题思路和方法。有的学生会从图上距离与实际距离的倍数关系进行思考,有的学生会把数值比例尺转换成线段比例尺，列式和计算比较方便。例题还引导学生用解比例的方法解题，表示比例尺意义的数量关系式是列比例依据的相等关系。“试一试”里根据已知的比例尺和实际距离，求图上距离。虽然已12知条件和要求的问题与例题不同，但解题思路是一致的，对比例尺的意义作出具体解释是思考的关键，教材允许学生按自己的思路选择解法。要注意的是， “试一试”要求在例 7 的平面图上表示出医院的位置，算出学校到医院的图上距离后解题并没有结束，还要在学校正北方 3
16、厘米处作个记号表示医院，并在学校与医院之间连条线段。 4进一步研究图形放大，发现面积与长度变化的关系。 面积的变化分三段设计实践活动。第一段的活动有：分别测量放大前、后两个长方形的长和宽，根据图形放大的含义写出对应边长的比；估计两个长方形面积的比；利用测量得到的边的长度计算两个长方形的面积比。这一段活动的目的是进一步巩固图形放大的概念，体会图形放大，面积扩大的倍数与边长扩大的倍数是不相同的。第二段的活动有：依次测量正方形、三角形、圆放大前、后的有关长度；分别计算各个图形放大前、后的面积，把长度与面积13的数据填入教材的表格里；研究图形放大后与放大前的边长比与面积比之间的关系。这一段活动要通过几个实例的研究，发现图形放大，面积扩大的倍数是长度扩大倍数的平方。第三段在东港小学的校园平面图里选择一幢建筑或一处设施，测量图上的长度，算出实际占地面
