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1、杭州新王牌补习班三角函数的图象与性质知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题.点击双基1.关于函数 f（x ）=sin 2x（ ） |x|+ ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为321 f（ x） 是 奇 函 数 当 x 2003 时 ， f（ x） 恒 成 立 f（ x） 的 最 大 值 是 2123 f（ x） 的最小值是 21A.1 B.2 C.3 D.4解析：显然 f（x ）为偶函数，结论错.对 于 结 论 ， 当 x=1000 时 ， x 2003， sin21000 =0， f（ 1000 ） = （ ）231000
2、，因此结论错.21又 f（x）= （ ） |x|+ =1 cos2x（ ） |x|，1cos2x1，2cosx3232 1 cos2x .2故 1 cos2x（ ） |x| ，即结论错.32而 cos2x， （ ） |x|在 x=0 时同时取得最大值，所以 f（x）=1 cos2x（ ） |x|在 x=0213时可取得最小值 ，即结论是正确的.2答案：A2.定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数.若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0， 时，f（x）=sinx，则 f（ ）的值为235A. B. C. D.1212323解析：f（ ）=f（ 2）=f（ ）=f（ ）=sin =
3、 .353答案：D3.函数 y=xcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数A.（ ， ） B.（，2）2C.（ ， ） D.（2，3）35解析：用排除法，可知 B 正确 .答案：B杭州新王牌补习班4.函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为A. B. C. D.2解析：y=sin 4x+cos2x=（ ） 2+cos1cos1= = +43s2x43= cos4x+ .817故最小正周期 T= = .42答案：B5.y=5sin（2x+ ）的图象关于 y 轴对称，则 =_.解析：y=f（x）为偶函数.答案： =k+ （kZ）典例剖析【例 1】 判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（s
4、inx + ）.x2sin1剖 析 ： 判 断 奇 偶 性 首 先 应 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ， 然 后 再 看 f（ x） 与 f（ x） 的 关 系 .解：定义域为 R，又 f（x）+f （x）=lg1=0 ，即 f（x）=f（x ） ，f（x）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.【例 2】 求下列函数的单调区间：（1）y= sin（ ） ；（ 2）y =sin （x+ ）.434剖 析 ： （ 1） 要 将 原 函 数 化 为 y= sin（ x ） 再 求 之 .（ 2） 可 画 出13y= |sin（ x+ ） |的图
5、象.4解：（1）y= sin（ ）= sin（ ）.2432x132x4故由 2k 2k+ 3k x 3k+ （kZ） ，为单调减889区间；由 2k + 2k+ 3k+ x 3k+ （kZ ） ，为单调增3x4921区间.递减区间为3k ，3k+ ，8递增区间为3k+ ，3k + （kZ ）.921杭州新王牌补习班（2）y=|sin（x+ ）| 的图象的增区间为k ，k + ，减区间为44k+ ，k + .434 4 4- xy 5O【例 3】已知函数 f（x ）= ，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，x2cos164并求其值域.剖 析 ： 此 题 便 于 入 手 ， 求 定 义 域 、
6、 判 断 奇 偶 性 靠 定 义 便 可 解 决 ， 求 值 域 要 对 函 数 化简 整 理 .解：由 cos2x0 得 2xk + ，解得 x + （kZ）.24所以 f（x）的定义域为 x|xR 且 x + ，kZ.因为 f（x）的定义域关于原点对称，且f（x）= ）（ ）（）（ x2cos1564= =f（x） ，2s15co4所以 f（x）是偶函数 .又当 x + （k Z ）时，4f（x）= = =3cos2x1，x2cos156x2cos312） （ 所以 f（x）的值域为 y|1y 或 y2.评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 【例
7、4】 判断 f（x ）= 的奇偶性.xcosin正确解法：取 x= ，f（x）有意义，取 x= ，f（x ）没有意义，故定义域关于原点22不对称.f（x）是非奇非偶函数 .常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致 错 误 的 结 论 .要 注 意 判 断 奇 偶 性 的 步 骤 ： 一 是 分 析 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 ， 二 是 分析 f（x）与 f（x ）的关系.【例 5】 在ABC 中，a、b、c 成等比数列，求函数 y=sinB+cosB 的值域.分析：b 2=ac 可转化为B 的取值范围.解：b 2=ac，cosB = =
8、= = ，2ac2c21ac21B（0， .y = sin（B+ ）（1， .34杭州新王牌补习班拓展：如果 a、b、c 成等差数列呢?闯关训练1.函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数A.（ ， ） B.（，2）23C.（ ， ） D.（2，3）5解析：仿前面第 3 小题依次排除 A、B、D.答案：C2.为了使 y=sin x（ 0）在区间0，1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值是A.98 B. C. D.100297219解析：49 T1，即 1，44 .297答案：B思考：若条件改为在x 0，x 0+1上至少出现 50 次最大值呢？3.定义在 R 上的函数 f（x
9、）满足 f（x）=f（x +2） ，当 x3，5时，f（x）=2 |x 4|，则A.f（sin ）f（cos ）66B.f（sin1）f （cos1）C.f（cos ）f（sin ）3232D.f（cos2）f（sin2）解析：由 f（x） =f（x +2）知 T=2，又x3，5时，f（x）=2|x4| ，可知当 3x4 时，f（x）=2+x.当 4x5 时，f（x）=6x.其图如下，故在（1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数. xyO1 1 2 2 3 4 5 又由|cos2|sin2|，f（cos2）f（sin2）.答案：D4.若 f（x）具有性质：f（x）为偶函数， 对任意 xR，
10、都有 f（ x）=f （ +x） ，则 f（x）的解析式44可以是_.（只写一个即可）答案：f（x）=a 或 f（x ）=cos4 x 或 f（x）=|sin2x|等.杭州新王牌补习班5.给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx |的周期分别为 、 ；2若 x1x 2，则 sinx1sinx 2；若 f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f（ ）=0.2其中正确命题的序号是_.答案：6.当 （0，）时，求 y= .2sin1sin1解：y= =sin cos sin +cos .2cosin）（ coi）（1）当 （0， 时，有 sin
11、cos ，sin +cos 0，4y=cos sin sin cos =2sin .（2）当 （ ， ）时，sin cos ，sin +cos 0，3y=sin cos sin cos =2cos .（ 3） 当 （ ， ） 时 ， 有4sin cos ， sin +cos 0， y=sin cos +sin +cos =2sin .7.设 x0， ，f（x）=sin（cosx） ，g（x）=cos（sin x） ，求 f（x） 、g（x）的最大2值.解：在 x0， 上，y=cosx 是单调递减的，且 cosx0，1 ，而 y=sinx 是单调递增的，且 sinx0，1 ，f（x）=sin（c
12、osx）0，sin1 ，g（x）=cos（sinx）cos1 ，1.f（x）的最大值是 sin1，g（x）的最大值是 1.8.若log cos sin log sin cos （ 为锐角） ，求 的取值范围.解： 为锐角，0cos 1，0sin 1，log cos sin 0，log sin cos 0.原式就是 logcos sin log sin cos1 （log cos sin ） 21coslginlogcos sin 1 sin cos 0 .49.已知 P（1，cosx） ，Q（cosx，1） ，x ， .（1）求向量 和 的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f（x） ；O（2）求
13、 的最值.杭州新王牌补习班解：（1） =2cosx，OPQ| | |=1+cos2x，f（x）=cos = .cos1（2）cos = = ，x2xcs1x ， ，cos x ，1.42cosx+ ， f （x）1，即 cos 1.cos12332 max=arccos ， min=0.杭州新王牌补习班三角函数的图象与性质知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题.点击双基1.关于函数 f（x ）=sin 2x（ ） |x|+ ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（ 321） f（ x） 是 奇 函 数 当 x 2003 时 ， f
14、（ x） 恒 成 立 f（ x） 的 最 大 值 是 2123 f（ x） 的最小值是 21A.1 B.2 C.3 D.42.定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数.若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0， 时，f（x）=sinx，则 f（ ）的值为（ ）235A. B. C. D.12123233.函数 y=xcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.（ ， ） B.（，2）23C.（ ， ） D.（2，3）54.函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为（ ）A. B. C. D.25.y=5sin（2x+ ）的图象关于 y 轴对称，则 =_.典例剖析【例 1】 判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx + ）.x2sin1【例 2】 求下列函数的单调区间：（1）y= sin（ ） ；（ 2）y =sin （x+ ）.43x4杭州新王牌补习班【例 3】已知函数 f（x ）= ，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，x2cos15
