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1、计算机数学基础数值分析期末复习提纲中央电大数理教研室计算机数学基础数值分析部分是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，使用教材是任现淼主编、吴裕树副主编的计算机数学基础( 下册)数值分析与组合数学(中央电大出版社出版)。期末考试全国统一命题。一、期末考试试题期末考试的试卷有单项选择题、填空题和解答题。单项选择题和填空题各 5 个题，分数约占 30。解答题共 5 个题，包括计算题、化简题和证明题等，分数约占 70。各章分数的分布为第 9 章约 6 分，第 1014 各章有选择题、填空题和解答题，分数分配大致与所用课时成比例。期末考试的内容和要求以中央电大编发
2、的计算机数学基础 (下) 数值分析部分考核说明为准。主要考核基本概念、基本原理和基本运算。可以带简易计算器。二、考核知识点、要求、例题与参考练习题以下分章给出期末考试的考核知识点、复习要求、例题与参考练习题，供期末复习和考试参考。第 9 章 数值分析中的误差(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 (二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3. 知道四则运算中的误差传播公式。(三) 例题例 1 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对
3、误差限：2.000 4 0.002 00 9 000.00解 因为 x1=2.000 40.200 04101, 绝对误差限 0.000 05=0.510 15 ，即 m=1,l=5,故x=2.000 4 有 5 位有效数字. 相对误差限 02.0215rx2=0.002 00，绝对误差限 0.000 005， 3 位有效数字。相对误差限 r=02.13x3=9 000.00，绝对误差限 0.005，6 位有效数字，相对误差限为r= =0.000 0005 6169例 2 ln2=0.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解 精确到 103 0.001，意旨两个近似值 x1,x2
4、满足 ，由于近似值都01.21是四舍五入得到的，要求满足 ，近似值的绝对误差限应是 0.0005,故至0.21x少要保留小数点后三位才可以。故 ln20.693。(四) 参考练习题: 练习 9.1：(B)4 ，6，9；练习 9.2：(B)2；习题 9：1第 10 章 线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法，超松弛迭2代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。3. 知道解线性方程组的高斯消
5、去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。(二) 例题例 1 用顺序消去法解线性方程组 xx解 顺序消元 .bA ).()( rr于是有同解方程组： x.回代得解： x3=1, x 2=1,x1=1。原线性方程组的解为 X(1,1,1) T。例 2 取初始向量 X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组x解 建立迭代公式(k=1,2,3,)5)(231(2)1)1(3(2)()1( kkkkkkxx第 1 次迭代,k=0， X(0) 0，得到 X(1)(1,3,5) T,第 2 次迭代，k=1，得到 X(2)(5, 3,3) T)()()
6、(x第 3 次迭代，k=2，得到 X(3)(1,1,1) T15)3(2)()3()3(1x第 4 次迭代，k=3，3，得到 X(4)(1,1,1) T)()()(x例 3 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 x作第 1 次消元后的第 2，3 个方程分别为 。解答 1. 选 a21=2 为主元，作行互换，第 1 个方程变为：2x 1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。.x2.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 的迭代格式中 xx )(kx(k=0,1,2,)解答 高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求 x2 的值时应该用 x1 的新值。答案是： )()(kx3.
7、当 ( )时，线性方程组 的迭代解一定收敛。a.ax(A) 6 (B) =6 (C) 6解答：当a6 时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第 10 章定理6，迭代解一定收敛。应选择(A)。(四) 参考练习题:练习 10.1(A):：1,3；(B)1,2；练习 10.3(A)：2；(B)1,2；习题 10 ：1,8第 11 章 函数插值与最小二乘拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，样条函数，三次样条插值函数；最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。(二)复
8、习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5. 知道三次样条插值函数的概念，会求简单的三次样条插值函数。6.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，(三)例题例 1 已知函数 y=f(x)的观察数据为4xk 2 0 4 5yk 5 1 3 1试构造 f(x)的拉格朗日多项式 Pn (x)，并计算 f(1) 。解 先构造基函数
9、)()( xl ()xx )()( xl ()xx所求三次多项式为P3(x)=0)(kly x)()(x)(x)(x P3(1) 例 2 已知函数 y=f(x)的数据如表中第 1，2 列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。k xk f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0 0.40 0.410 751 0.55 0.578 15 1.116 002 0.65 0.696 75 1.168 00 0.280 003 0.80 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 334 0.90 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.
10、213 00 0.031 34计算公式为：一阶均差 ),()(,( kxffxf kk二阶均差 ),(,), kxfkkk例 3 设 是 n+1 个互异的插值节点， 是拉格朗日xx,. ),.)(nlk插值基函数，证明： nkl)(证明 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x) kxl0)()(,)!() xRPffRnnn 5当 f(x)1 时,1 。由于 ,故)()!()( xnfxlxRPnknn )(xfn有 。nkl例 4 已知数据如表的第 2，3 列，试用直线拟合这组数据。 k xk yk kxxkyk1 1 4 1 42 2 4.5 4 93 3 6 9 184
11、 4 8 16 325 5 8.5 25 42.5 15 31 55 105.5例 5 选择填空题1.通过四个互异节点的插值多项式 P(x),只要满足( ),则 P(x)是不超过一次的多项式。(A) 初始值 y0=0 (B) 一阶均差为 0 (C) 二阶均差为 0 (D)三阶均差为 0解答：因为二阶均差为 0，那么牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx 0)它是不超过一次的多项式。故选择(C)正确。2. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是 ( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx 1)(xx 2)(xx n1 )(xx n)(
12、)!1()nfxRnn(C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx 0)(xx 1)(xx 2)(xx n1 )(xx n)解答：(A) ，(D) 。见教材有关公式。(四)参考练习题：练习 11.1：(A) 5；(B) 2，3，5；练习 11.2：(A) 1,2;(B) 2，3，4； 练习 11.3：(A) 1;(B) 1,3,4；练习 11.4:(A) 1,3; (B) 1,2；习题 11：5(1) (3),6第 12 章 数值积分与微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿科茨求积公式，科茨系数及其性质，( 复化) 梯形求积公式，(复化
13、) 抛物线求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯勒让德求积公式； (二点、三点)插值型求导公式。(二) 复习要求1. 了解数值积分和代数精度等基本概念。2. 了解牛顿科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握并推导(复化) 梯形求积公式和(复化) 抛物线求积公式。3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯勒让德求积公式求定积分的近似值。4. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。(三)例题例 1 试确定求积公式 的代数精度。)()(d)(ffxf解 当 f(x)取 1,x,x2,计算求积公式何时精确成立。(1) 取 f(x)=1,有：左边 , 右边2f)(解 将
14、的计算结果列入表中。kyx,2因为 n=5。a 0,a1 满足的法方程组是.解得 a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x6(2) 取 f(x)=x,有：左边 , 右边 0d)(11xf(3)类似导出， 取 f(x)=x2, x3, 有左边= 右边(5) 取 f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9当 k3 求积公式精确成立，而 x4 公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数精度。例 2 试用梯形公式、科茨公式和抛物线公式计算定积分(计算结果取 5 位有效数字).d(1)用梯形公式计算 .)(.(. ffx(2)用科茨公式 系数为 ,.d. x .(3)如果要求精确到 105 ，用复化抛物线公式，截断误差为,)(/xf .max)(ax/fMbbRNfbah2804 , N2)(h
