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1、2012 年中考数学复习解直角三角形与中考中考要求及命题趋势 1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应、的锐角 ；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2012 年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题应试对策 1 要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；2 掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问
2、题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题第一节 锐角三角函数与解直角三角形【回顾与思考】【例题经典】锐角三角函数的定义和性质【例 1】在ABC 中，C=90（1）若 cosA= ，则 tanB=_;（2）若 cosA= ，则 tanB=_245【例 2】 （1）已知：cos= ，则锐角 的取值范围是（ ）3A0cossin BsincostanCtansincos Dcotsincos解直角三角形【例 3】 （1）如图，在 RtABC 中，C=90
3、，AD 是BAC的平分线，CAB=60，CD= ，BD=2 ，求 AC，AB 的长3（2） （2005 年黑龙江省） “曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出A=30，AC=40 米，BC=25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A=60，AB=200m，CD=100m ， 求 AD、BC 的长【点评】设法补成含 60的直角三角形再求解第二节 解直角三角形的应用【回顾与回顾】问题三-三三【例题经典】关于坡角【例 1】 （2010 年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面24 米，从 A 到 B，从 B 到
4、C 是两段不同坡角的山坡路山坡路 AB 的路面长 100 米，它的坡角BAE=5，山坡路 BC 的坡角CBH=12为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与 AB 的坡角相同，使得DBI=5 （精确到 0.01 米）（1）求山坡路 AB 的高度 BE（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5=0.0872，cos5=0.9962，sin12=0.2079，cos12=0.9781）3方位角.【例 2】 （2011 年襄樊市）如图，MN 表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点 M 测得点 N 在它的南偏东 30的方向，测得另一点 A 在它的南偏东 60的方向；取 MN
5、上另一点 B，在点 B 测得点 A 在它的南偏东75的方向，以点 A 为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知 MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法坡度【例 3】 （2011 年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 1.2 米，下底宽为 2 米，坡度为 1：0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了 0.6 米（如图所示）求：（1）渠面宽 EF；（2）修 200 米长的渠道需挖的土方数
6、例题精讲例 1.如图 7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的 C 点用测角器测得旗杆顶 A 点的仰角AFE=60，再沿直线 CB 后退 8 米到 D 点，在 D 点又用测角器测得旗杆顶 A 点的仰角AGE=45；已知测角器的高度是 16 米，求旗杆 AB 的高度( 的近3似值取 17，结果保留小数)解：设 AE 为 x 米，在 RtEF 中，AFE=60，EF= x/33在 RtAGE 中，AGE=45 AE=GE8+ x/3=x x=12+4 34即 x188( 的近似值取 17，结果保留小数)3AB=AE+EB204例 2.下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高
7、出水平地面 24 米从 A 到 B、从B 到 C 是两段不同坡角的山坡路，山坡路 AB 的路面长 100 米，它的坡角BAE=5，山坡路 BC 的坡角CBH=12为了方便交通，政府决定把山坡路 BC 的坡角降到与 AB 的坡角相同，使得DBI=5(精确到 0O1 米)(1)求山坡路 AB 的高度 BE(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?(sin5=00872，cos5=09962,sin12=02079，cos12=09781) 解：(1)在 RtABE 中，BE=872(米)(2)在 RtCBH 中，CH=CF-HF=1528BC=73497在 RtDBI 中，DB=175229D
8、B-BC175229-73497=10173210173(米)实战练习：1.（2010 年湖里区二次适应性考试） ）如图，抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点 M，使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA， AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使 OBN 与 OAB 相似？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，说明理由答案：（1）由题意，可设抛物线的解析式为 2()1yax，抛物线过原点， 2(0)1a， 1ayxOAB第 1 题图5yxOAB ENA抛物线的解析式为 21()4
9、yx214x （2） AOB 和所求 M 同底不等高， 3MOBABS 且 ， 的高是 AB 高的 3 倍，即 M 点的纵坐标是 2134x，即 2410x解之，得 16， 2满足条件的点有两个： 1(3)， ， 2(3)， （3）不存在 由抛物线的对称性，知 AOB， AB如图，若 BN 与 相似，必有 N设 O交抛物线的对称轴于 点，显然 (21)， 直线 的解析式为 1yx由 214x，得 10， 26 (63)N， 过 作 Ex轴，垂足为 E在 RtBN 中， 2E， 3， 21B又 OB=4， NO， O， 与 A 不相似 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 N点所以在该
10、抛物线上不存在点 N，使 B 与 相似2.（2010 年北京市朝阳区模拟） 3tan60)4(27)1(0.解：原式= 314 =53.（2011 年北京市朝阳区模拟）小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 C 处时的线长为 20 米，这 时测得CBD=60，若牵引底端 B 离地面 1.5 米，求6此时风筝离地面高度。(计算结果精确到 0.1 米， 31.72)解：在 RtBCD 中，CD=BCsin60=20 =02又DE=AB=1.5CE=CDDE= 103.571.8(米)答：此时风筝离地面的高度约是 18.8 米.4.（2010 年教育联合体）计算： 00201 3tan621 原式 361
11、2 25.（2010 年安徽省模拟）为测量大楼 CD 的高度，某人站在 A 处测得楼顶的仰角为 450，前进 20m 后到达 B 处测得楼顶的仰角为 600，求大楼 CD 的高度。来源:学科网 ZXXKCDBA解：如图，依题意得CBD=60 0 , CDB=90 0,设 BD=x m,则 AD=(20+x) mCD= 3x m在 RtACD 中，CAD=45 0 , CDA=90 0 AD=CD20+x= 3xx=10( +1)CD= x=(30+ ) m ,即楼高为(30+ 3) m6.(2010 年三亚市月考) 如图，为测量某塔 AB 的高度，在离塔底部 10 米处目测其塔顶 A，仰角为
12、60，目高 1.5 米，试求该塔的高度。 （ 21.41， 31.73）解：由题意可知 CD=10 米，BD=1.5 米，ACD=60.ABDCE第 6 题图 601.57在 RtACD 中，AD=CDtan60= 10 3 AB=AD+DB=10 3 + 1.5 101.73 + 1.5 =18.8（米）答：该塔的高度是 18.8 米7.(2010年聊城冠县实验中学二模)九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角 .（1）如上图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在 护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到EFB36，那么 的度数是_；
13、（2）如上图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如上图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为 a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为 b米，点P到护坡石坝底部B的距离为 c米，如果利用（1）得到的结论，请你用 ca、 表示出护坡石坝的垂直高度AH。 （ 95.072sin， 3.072cos， 372tn）解 （1）72（2）3米（3） abc8.（2011 年年广州市中考六模） 、如图，某中学科学楼高 15 米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿
14、舍楼，第一层是高 2.5 米的自行车场，第二层起为宿舍。已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最 低，此时太阳光线 AB 的入射角ABD55，为使第二层起能照到阳光，两楼间距 EF 至少是多少米？（精确到 0.1 米）第 7 题图8D EF。 （参考数据：tan55=1.4281,tan35=0.7002） 。答案：(1) 由矩形 BCEF 得到 CE=BF，BC=EF (2) 得到CAB=55 o 得到 BC=ACtan55o BC=17.9 米 作答 9.（2010 年广州市中考七模） 、如图，某电信公司计划修建一条连接 B、 C 两地的电缆。测量人员在山脚 A 点测得 B、 C 两地
15、的仰角分别为 30、45，在 B 处测得 C 地的仰角为 60，已知 C 地比 A 地高 200m，求电缆 BC 的长（结果保留根号）.解：画 BE、 CF 均垂直于 AM，垂足分别为 E、 F；画 BD CF 于 D.则四边形 BEFD 是矩形. 设 BD=x，由题意得 AF=CF=200， EF=BD=x,AE=200 x CBD=60， CD=tan60BD= 3x， BE=DF=200 3x BEA= tan BAE= tan30= ，即 203x= ,解得 x =10， BC=2x= 3 （m）10.（2010 年广东省中考拟）如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合，已知（）三角尺旋转了多少度？连结，试判断的形状；（）求的长
