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1、解直角三角形的方法技巧解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。例 1.如图 1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且 ，求 AB 的长。AE， 1图 1思路 1：所求 AB
2、 是 的斜边，但在 中只知一个锐角 A 等于 ，暂不RtABCRtABC可解。而在 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解 入手。tDE RtDE解法 1：在 中，因 ，且 ，AE1cosED故 Acos1在 中，由 ，得RtDCACAcoscos12在 中，由 ，得tABcosBss123思路 2：观察图形可知，CD、DE 分别是 和 斜边上的高，具备应用RtAtCD射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法 2：同解法 1 得 ADcos在 中，由 ，得RtACDAEC2ADE21cos在 中，由 ，得tBB223s点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经
3、具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。例 2.如图 2，在 中， ，AD 是 BC 边上的中线。RtABC90（1）若 ， ，求 AD 的长。D3（2）若 ，求证：， tant2图 2分析：（1）由 AD 是 BC 边上的中线，只知 DC 一条边长，仅此无法直接在中求解 AD。而在 中，由已知 BC 边和 可以先求出 AC，从而使RtADCRtABCB可解。（2） 和 分别为 和 中的锐角，且都以直角边 AC 为对边，抓住ttD图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证
4、明 tant2解：（1）在 中， ，RtABC2B30tan36在 中，RtADCB2解直角三角形的方法技巧第 3 页 共 5 页ADC2423（2）证明：在 中，由 ， ，得RtBtanABCABCBtan在 中，由 ，tAtD得 Ctan故 ，又因 BC2DC，故Btttant2点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图 2，它是含有两个直角三角形的图形。随着 D 点在 BC 边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。例 3.如图 3，在 中， ，AD 是 的平分线。RtABC90BAC（1）若 ，求D（2）在（1）的条件
5、下，若 BD4，求 SABC图 3分析：在（1）中已知 AD 是 的平分线，又知 AB、BD 这两条线段的比为 ，BAC3应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到 中，先求出RtADC即可求得 。DAC解：（1）由 AD 是 的平分线，得 ，即B3在 中，由 ，得RtcotDAC3AC30，BAC260B9（2）由 ，得ABD34， ABD34由 ，得 。又0C12CBcos6SBAC63点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。例 4.如图 4，在 中， ，D 为 BC 上一点， ，Rt
6、ABC90 ABC45，BD1，求 AB。ADC60图 4分析：已知的角告诉我们， 和 都是特殊的直角三角形，抓住这个特RtABCtD点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在 中，设 ，由 ，可知 ，得RtADCx60AC30，x23在 中，由 ，BD1， ，得tB45BD1x得 x312ABCx6326点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。训练题：解直角三角形的方法技巧第 5 页 共 5 页如图 5，在 中，D、F 分别在 AC、BC 上，且 ， ，ABCABCF，求 AC。B1图 5（提示： 是直角三角形，AF 为斜边上的高线，CF 是直角边 AC 在斜边上的射ABC影，AC 又为所求，已知的另外两边都在 中，且 ，即 是等腰BDC1BDC三角形，因此，可以过 D 作 ，从而找到解题思路。由于 DE、AF 同垂直于 BC，E可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得 AC）
