《（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 60 平行与垂直的证明 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 60 平行与垂直的证明 理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 8 立体几何与空间向量 60 平行与垂直的证明 理训练目标 能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题.训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件.解题策略 用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1(2015苏州上学期期末)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F分别是 AD， DD1的中点求证：(1) EF平面 C1BD；(2)A1C平面 C1BD.2.如图，四棱锥 P ABCD的底面为矩形， AB ， BC1， E， F分别是 AB， PC的中点， 2
2、DE PA.(1)求证： EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAC平面 PDE.3(2015北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，各个侧面均是边长为 2的正方形， D为线段 AC的中点(1)求证： BD平面 ACC1A1；(2)求证：直线 AB1平面 BC1D；(3)设 M为线段 BC1上任意一点，在 BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点 E，使2CE DM，并说明理由4.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且PA PD AD， E、 F分别为 PC、 BD的中点22(1)求证： EF平面 PAD；(
3、2)求证：平面 PAB平面 PDC.5(2015北京海淀下学期期中)如图 1，在梯形 ABCD中， AD BC， AD DC， BC2 AD，四边形 ABEF是矩形，将矩形 ABEF沿 AB折起到四边形 ABE1F1的位置，使平面 ABE1F1平面ABCD， M为 AF1的中点，如图 2.(1)求证： BE1 DC；(2)求证： DM平面 BCE1；(3)判断直线 CD与 ME1的位置关系，并说明理由3答案解析1证明(1)如图，连结 AD1， E， F分别是 AD和 DD1的中点， EF AD1.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB D1C1， AB D1C1，四边形 ABC1D1为平
4、行四边形，即有 AD1 BC1， EF BC1.又 EF平面 C1BD， BC1平面 C1BD， EF平面 C1BD.(2)如图，连结 AC，则 AC BD.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AA1平面 ABCD， BD平面 ABCD， AA1 BD.又 AA1 AC A， AA1平面 AA1C， AC平面 AA1C， BD平面 AA1C， A1C平面 AA1C， A1C BD.同理可证 A1C BC1.又 BD BC1 B， BD平面 C1BD， BC1平面 C1BD， A1C平面 C1BD.42证明(1)如图，取 PD中点 G，连结 AG， FG，因为 F， G分别为 PC， PD
5、的中点，所以 FG CD，且 FG CD.12又因为 E为 AB中点，所以 AE CD，且 AE CD.12所以 AE FG， AE FG.所以四边形 AEFG为平行四边形所以 EF AG，又 EF平面 PAD， AG平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(2)设 AC DE H，由 AEH CDH及 E为 AB中点，得 ，AHCH AECD 12又因为 AB ， BC1，2所以 AC ， AH AC .313 33所以 ，又 BAC为公共角，AHAE ABAC 23所以 HAE BAC.所以 AHE ABC90，即 DE AC.又 DE PA， PA AC A， PA平面 PAC， AC平面
6、 PAC，所以 DE平面 PAC.又 DE平面 PDE，所以平面 PAC平面 PDE.3(1)证明因为三棱柱的侧面是正方形，所以 CC1 BC， CC1 AC， BC AC C， BC底面 ABC， AC底面 ABC，所以 CC1底面 ABC.因为 BD底面 ABC，所以 CC1 BD.由已知可得，底面三角形 ABC为正三角形因为 D是 AC中点，所以 BD AC.因为 AC CC1 C， AC平面 ACC1A1， CC1平面 ACC1A1，所以 BD平面 ACC1A1.(2)证明5如图，连结 B1C交 BC1于点 O，连结 OD.显然点 O为 B1C的中点因为 D是 AC中点，所以 AB1
7、OD.因为 OD平面 BC1D， AB1平面 BC1D，所以直线 AB1平面 BC1D.(3)解在 BC1D内的平面区域(包括边界)存在一点 E，使 CE DM，此时点 E在线段 C1D上证明如下：如图，过 C作 CE C1D，交线段 C1D于 E，由(1)可知 BD平面 ACC1A1，而 CE平面 ACC1A1，所以 BD CE.又 CE C1D， C1D BD D， C1D平面 BC1D， BD平面 BC1D，所以 CE平面 BC1D.又 DM平面 BC1D，所以 CE DM.4证明(1)如图，连结 AC，则 AC BD F，因为四边形 ABCD为正方形，所以 F为 AC的中点，又 E为
8、PC的中点，所以在 CPA中， EF PA.6又 PA侧面 PAD， EF侧面 PAD，所以 EF侧面 PAD.(2)因为四边形 ABCD为正方形，所以 CD AD，因为侧面 PAD底面 ABCD，侧面 PAD底面 ABCD AD， CD底面 ABCD，所以 CD侧面 PAD.又 PA侧面 PAD，所以 CD PA.又 PA PD AD，22所以 PAD是等腰直角三角形，且 APD ，即 PA PD.2因为 CD PD D，且 CD侧面 PDC， PD侧面 PDC，所以 PA侧面 PDC.又 PA侧面 PAB，所以侧面 PAB侧面 PDC.即平面 PAB平面 PDC.5(1)证明因为四边形 A
9、BE1F1为矩形，所以 BE1 AB.因为平面 ABCD平面 ABE1F1，且平面 ABCD平面 ABE1F1 AB， BE1平面 ABE1F1，所以 BE1平面 ABCD.因为 DC平面 ABCD，所以 BE1 DC.(2)证明因为四边形 ABE1F1为矩形，所以 AM BE1.因为 AD BC， AD AM A， BC BE1 B，AD平面 ADM， AM平面 ADM， BC平面 BCE1， BE1平面 BCE1所以平面 ADM平面 BCE1.因为 DM平面 ADM，所以 DM平面 BCE1.(3)解直线 CD与 ME1相交，理由如下：取 BC的中点 P， CE1的中点 Q，连结 AP，
10、PQ， QM，所以 PQ BE1，且 PQ BE1.12在矩形 ABE1F1中， M为 AF1的中点，所以 AM BE1，且 AM BE1，12所以 PQ AM，且 PQ AM.7所以四边形 APQM为平行四边形，所以 MQ AP， MQ AP.因为四边形 ABCD为梯形， P为 BC的中点， BC2 AD，所以 AD PC， AD PC，所以四边形 ADCP为平行四边形所以 CD AP，且 CD AP.所以 CD MQ且 CD MQ.所以四边形 CDMQ是平行四边形所以 DM CQ，即 DM CE1.因为 DM CE1，所以四边形 DME1C是以 DM， CE1为底边的梯形，所以直线 CD与 ME1相交
