《习题立体几何基础题题库2(包括600道经典题目，有非常详细的答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题立体几何基础题题库2(包括600道经典题目，有非常详细的答案）（104页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1立体几何基础题题库二（有详细答案）361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有 5 个暴露面.如图所示，过 V 作 VSAB，则四边形 SABV 为平行四边形，有SVA=VAB=60，从而 SVA 为等边三角形，同理 SVD 也是等边三角形，从而 SAD 也是等边三角形，得到以 VAD 为底，以 S与 S 重合.这表明 VAB 与 VSA 共面，VCD 与 VSD 共面，故共有 5 个暴露面.362. 若四面体各棱长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题
2、表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除1，1，2 ，可得1，1，1 ， 1，2，2 ， 2，2，2 ，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为 2，另一边为 1，对棱相等的四面体.对于五条边为 2，另一边为 1 的四面体，参看图 1 所示，设 AD=1，取 AD 的中点为 M，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知 AD面 BCM，且 VABCM=VDBCM，所以VABCD= SBCM AD.31CM= = = .设 N
3、是 BC 的中点，则 MNBC，MN=2DMC2)1(5= = ，从而 SBCM = 2 = ，2N452121故 VABCD= 1= .31612对于对棱相等的四面体，可参见图 2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式 V= 12，)bac)(b)(ca( 2222 不妨令 a=b=2，c=1，则V= 12)41)(4)(= = .7363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为 24cm,深为 8cm 的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为 R，依题意知截面圆的半径 r12,球心与截面的距离为 d
4、R-8，由截面性质得：r 2+d2R 2,即 122+(R-8)2R 2.得 R13 该球半径为 13cm.364. 在有阳光时，一根长为 3 米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为 米，同时将一个3半径为 3 米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成 60角，设球的阴影部分面积为 S，垂直于光线的大圆面积为 S，则 Scos30S,并且 S9，所以 S6 (米 2)3365. 设棱锥 MABCD 的底面是正方形，且 MAMD，MAAB，如果 AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.3解析： ABAD，ABMA，A
5、B平面 MAD，由此，面 MAD面 AC.记 E 是 AD 的中点，从而 MEAD.ME平面 AC， MEEF设球 O 是与平面 MAD、AC、平面 MBC 都相切的球.不妨设 O平面 MEF，于是 O 是 MEF 的内心.设球 O 的半径为 r，则 r MFES2设 ADEFa,S AMD 1.ME .MF ,a22)(ar -12)(2当且仅当 a ，即 a 时，等号成立.当 ADME 时，满足条件的球最大半径为 -1.22366. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，期棱长为 a.(1)求证 BD截面 AB1C；(2)求点 B 到截面 AB1C 的距离；(3)求 BB1与截面 AB1C
6、 所成的角的余弦值。11:DBDAC证 明 面 ABC同理 BD1AB 1.BD 1面 ACB1.(2)AB=BC=BB1 G 为AB 1C 的中心.AC= a24AG= a362aBG= = a2222 93)(3)BB 1G 为所求cosBB 1G= 36aB367. 已知为 所在平面外一点，为的中点，求证：平面解析：因 M 为 PB 的中点，连 BDAC 于 O 后，可将 PD 缩小平移到 MO，可见 MO 为所求作的平行线证明 连交于，连，则为的中位线， 平面，平面，平面 368. 如图，在正方体 1 1 1 1 中，M，N，分别是棱 1 1，A 1D1， 1，的中点（）求证： 1平面
7、（）平面直线 A1E 与 MF 所成的角解析：（）要证 A1E平面 ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与 A1E 都垂直，显然 MN 与它垂直，这是因为 MN平面 A1ADD1，另一方面，AN 与 A1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决 （）为（）的应用证明（）AB平面 A1ADD1，而 1 平面 A1ADD1，AB 1在平面 A1ADD1 中，A 1EAN，ANABA，A 1E平面 ABMN解（）由（）知 A1E 平面 ABMN，而 MF 平面ABMN， A 1EMF，则 A1E 与 MF 所成的角为369. 如图，在正方体 1 1 1 1 中，M
8、 为棱 C 1 的中点，AC 交 BD 于点O，求证：A 1O平面 MBD解析：要证 A1O平面 MBD，只要在平面 MBD 内找到两条相交直线与 A1O 都垂直，首先想到 DB，先观察 A1O 垂直 DB 吗？方法：发现 A1O 平分 DB，想到什么？（A 1DB 是否为等腰三角形）A 1DA 1B，DOOB，A 1ODB方法：A 1ODB 吗？即 DBA 1O 吗？DB 垂直包含 A1O 的平面吗？（易见 DB平面A1ACC1）再观察 A1O 垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与 A1O 均异面， 故难以直接观察，平面 MDB 中还有何直线？易想到 MO，因 MO 与A1O 相交，它们在
9、同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图 进行观察证明取 CC1 中点 M，连结 MO，DB A 1A，DBAC，A 1AAC=A，DB平面5A1ACC1，而 A1O 平面 A1ACC1，A 1ODB 在矩形 A1ACC1 中，tanAA 1O= ，tan MOC= ，AA 1O=MOC，则A 1OAMOC ，22A 1OOM，OMDBO，A 1O平面 MBD370. 点 P 在线段 AB 上，且 APPB ，若 A，B 到平面 的距离分别为 a，b，求点 P 到平面 的距离解析：（）A，B 在平面 的同侧时，P 平面 的距离为；3213ba（）A，B 在平面 的异侧时，P 平面 的距离为)
10、(点评一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（）种情形，若以平面为“水平面” ，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（）种情形的结论，就是将（）结论中的 b 改为(b) ，而无需再画另一图形加以求解371. 若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面 （）（）有且只有一个 （）可能存在也可能不存在（）有无数多个 （）一定不存在（）解析：若存在，则 ab，而由条件知，a 不一定与 b 垂直372. 在正方体 1 1 1 1 中，若 E 是 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于 （）（）AC （）BD （）A 1D （）A 1D1解析：
11、（）BDAC，BDCC 1，BD平面 A1ACC1，BDCE373. 定点 P 不在ABC 所在平面内，过 P 作平面 ，使 ABC 的三个顶点到 的距离相等，这样的平面共有 （）（）个 （）个 （）个 （）个解析：D过 P 作一个与 AB，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边 AB，BC ，CA 的中点分别为E，F， G，则平面 PEF 符合要求；同理平面 PFG，平面 PGE 符合要求374. P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，且 PA平面 ABCD，P 到 B，C，D 三点的距离分别是 ， ， ，则 P 到 A 点的距离是 （）5173（） （） （） （）3解析：（A）设 ABa
12、，BCb，PA h，则 a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,h=1375. 线段 AB 的两个端点 A，B 到平面 的距离分别为 6cm, 9cm, P 在线段 AB 上，AP：PB：，则 P 到平面 的距离为 解析：cm 或cm 分 A，B 在平面 的同侧与异侧两种情况同侧时，P 到平面 的距离为6（cm） ，异侧时，P 到平面 的距离为 （cm） 31926 31926376. ABC 的三个顶点 A，B ，C 到平面 的距离分别为 2cm, 3cm, 4cm , 且它们在 的同一侧，则ABC 的重心到平面 的距离为 解析：3cm 3cm 354377. Rt A
13、BC 中，D 是斜边 AB 的中点，AC ，BC ，EC平面 ABC，且EC，则 ED解析：AB，CD，则 ED 215378. 如图，在正方体 1 1 1 1中，求：（）A 1B 与平面 A1B1CD 所成的角；（）B 1B 在平面 A1C1B 所成角的正切值解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影（）先找到斜足 A1，再找出 B 在平面 A1B1CD 内的射影，即从 B 向平面 A1B1CD 作垂线，一定要证明它是平面 A1B1CD 的垂线这里可证 BC1平面 A1B1CD，O 为垂足，A 1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影（）若将平面 D1D1BB 竖直放置在正前方，
14、则 A1C1横放在正前方，估计 B1B 在平面 A1C1B内的射影应落在 O1B 上，这是因为 A1C1平面 D1DBB1，故作 B1HO 1B 交于 H 时，BH1A 1C1，即 H 为 B1在平面 A1C1B 内的射影另在求此角大小时，只要求B 1BO1即可解析：（）如图，连结 BC1，交 B1C 于 O，连 A1OA 1B1平面 B1BCC1，BC 1 平面 B1BCC1，A 1B1BC 1又 B1CBC 1，A 1B1B 1CB 1，BC 1平面 A1B1CD，O 为垂足，A 1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 上的射影，则BA 1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角sinBA 1O ，BA 1O2（）连结 A1C1交 B1D1于 O1，连 BO1，作 B1HBO 1于 HA 1C1平面 D1DBB1，A 1C1B 1H又 B1HBO 1，A 1C1BO 1O 1，B 1H平面 A1C1B，B 1BO1为 B1B 与平面 A1C1B 所成的角，tanB 1BO = ，即 B1B 与平面 A1C1B 所成的角的正切值为 2 2379. RtABC 中，C，BC，若平面 A
