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1、1上海市闸北区 2009 届高三模拟考试卷数学（理科）（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一填空题 (本大题满分 50 分）本大题共有 10 题，只要求直接填写结果，每题填对得 5 分，否则一律得零分.1函数 xy5.0log的定义域为_.2若 21ct，则 tan的值为 3增广矩阵为 83 的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 4若 9)12(x展开式的第 9 项的值为 12，则 )(lim2nnxx = 5已知向量 a和 b的夹角为 120， |a，且 ab)，则 |_6在极坐标系中，定点 A ),3(，点 B 在曲线 cos2上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的极坐标是
2、7设圆 C 与双曲线2196xy的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆 C 的标准方程为 .8方程 |2sin|x的实数解的个数为 9如图 1 是一个跨度和高都为 2 米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是_ 图 110设 Rba,，且 baa22，则 的取值范围为 二选择题（本大题满分 15 分）本大题共有 3 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 5 分，不选、选错一 律 得 零 分 一 二 三题 号1-10 11-13 14 15 16 17 18 总
3、 分得 分得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人2MABDCO11已知复数 1zi，则 12z（ ）A 2i B i C 2 D 212过点 ),1(，且与向量 (4,3)m平行的直线的方程是( )A 034yxB 01yx C 0543yx D513在 C中，设 a、 b、 c分别是 A、 B、 所对的边长，且满足条件bc2,，则 A面积的最大值为 ( )A 1 B 23 C 34 D 2三解答题 (本大题满分 85 分) 本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .14 （本小题满分 14 分）如图 2，在四棱锥 OAB中，底面 C是边长为 2 的正方形， D底， 2， 为 A的中
4、点（）求异面直线 OC 与 MD 所成角的大小；（）求点 M 到平面 OCD的距离15 （本小题满分 15 分）一种填数字彩票 2 元一张，购买者在卡上依次填上 09 中的两个数字（允许重复） 中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖 10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖 2 元；其他情况均无奖金（）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件 A， “购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件 BA的含义，并求事件 B发生的概率；
5、得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人3（）设购买一张这种彩票的收益为随机变量 ，求 的数学期望416 （本小题满分 16 分）设 xaf21)(，其中实常数 1a（）求函数 )(xf的定义域和值域；（）试研究函数 的基本性质，并证明你的结论17 （本小题满分 20 分）将数列 na中的所有项按第一行排 3 项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a2 345 6 789 10 a 12记表中的第一列数 1， 4， 8， ，构成数列 nb （）设 mb8，求 的值；（）若 1，对于任何 Nn，都有 0，且 0)1(12nnb求数列 n 的通项公式； （）对于（）中的数列 nb，若上表中
6、每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(q的等比数列，且 526a，求上表中第 k（ N）行所有项的和 kS18 （本小题满分 20 分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹一般来说，在空间直角坐标系 xyzO中，空间曲面的方程是一个三元方程 0),(zyxF（）在直角坐标系 O中，求到定点 )1,20(M的距离为 3 的动点 P的轨迹（球面）方程； （）如图 3，设空间有一定点 F到一定平面 的距离为常数 0p，即 pM|，定义曲面 C为到定点 F与到定平面 的距离相等（ |PN）的动点 的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系 xyzO，求曲面 的方
7、程； 图 3（）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面 C的几何性质并在图 4 中通过画出曲面 C与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人5要）表示曲面 C的大致图形画交线时，请用虚线表示被曲面 C自身遮挡部分闸北区 09 届高三数学（理）学科模拟考试参考答案与评分标准一填空题：1 ,0(； 2 43； 3 )1,( 42； 5 8； 6. )； 7 6)5(2yx； 83； 9 )316,0(； 10 4,二选择题：11B ； 12C ； 13C三解答题： 14解 （）方法一（综合法）设线段 A的中点为
8、E，连接 M，则 EMD为异面直线 OC 与 D所成的角（或其补角） .1分由已知，可得 5,3,2ME，2)5(3)(为直角三角形 .1分 32tanEDM， .4分 arct所以，异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 32arctn .1分方法二(向量法)以 AB,AD,AO 所在直线为 ,xyz轴建立坐标系，则 )02()1(),02(),DMCO, 2分 ,， ,， .1 分设异面直线 OC 与 MD 所成角为 ，51|cosMDOC. 2 分6 OC 与 MD 所成角的大小为 51arcos1分（）方法一（综合法）作 ODMF于 ， 1 分CA且 ， CD平面 AO 平面 4分所以
9、，点 M到平面 O的距离 2ME 2分方法二(向量法)设平面 CD的一个法向量 ),(zyxn， 020yxnO2 分 zx,)1(.2分设 M到平面 OCD的距离为 h则 2|nh3 分15解 （）设“小明中一等奖”为事件 1B ， “小辉中一等奖”为事件 2B ，事件 1与事件 2B相互独立， 12B他们俩都中一等奖，则 0.0)()(1 PP所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为 . .4 分（）事件 BA的含义是“买这种彩票中奖” ，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”1 分显然，事件 A 与事件 B 互斥，所以， 1.0910)()( PP .3分7故购买一张这种彩票能中奖的概率为
10、1.0.1 分（）对应不中奖、中二等奖、中一等奖， 的分布列如下：208P9.1.3分 72.01.8.0.2E购买一张这种彩票的期望收益为损失 元.3分16解 （）由于 1x恒成立，所以函数 )(xf的定义域为 R.2 分22)( xxaxf，（1）当 1a时，函数 1)(f，函数 )(xf的值域为 11 分（2）当 时，因为 0x，所以 ，0x，从而 af)(，.3 分所以函数 )(f的值域为 ,1 .1 分（）假设函数 x是奇函数，则，对于任意的 Rx，有 )()(xff成立，即 10)2(21aaaxxx当 时，函数 )(f是奇函数 .2 分当 时，函数 是偶函数 .2 分当 a，且
11、时，函数 )(xf是非奇非偶函数 .1 分对于任意的 R21,，且 21，)(1xff 0)(21xxa.3 分所以，当 时，函数 f是常函数 .1分 当 1a时，函数 )(xf是递减函数 .1分17解 （）由题意， 4319876543m6分（）解法 1：由 b且 0)1(2nnbbn知8012b， 2b， 213， 3， 3因此，可猜测 n（ N） 4分将 bn1， 1n代入原式左端得左端 0)(即原式成立，故 nb为数列的通项.3分用数学归纳法证明得 3 分解法 2：由 0)1(12nnbb， n令 nat得 0t，且 )(2t即 )1(， .4分所以 1nb因此 21， 3， ， nb1将各式相乘得 nb3 分（）设上表中每行的公比都为 q，且 0因为 631543，所以表中第 1 行至第 9 行共含有数列 nb的前 63 项，故 6a在表中第 10 行第三列，2 分因此 52106ba又 10，所以 2q .3 分则 )()()22kkqkS N2 分18解 （）动点 P的轨迹是以 0M为原点，以 3 为半径的球面 91 分并设动点 P的坐标为
