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1、1（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（4）1.（本题满分 13 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 5 分某服装公司生产的衬衫，每件定价 80 元，在某城年销售 8 万件.现该公司在该市设立代理商来销售衬衫.代理商要收取代销费，代销费为销售金额的 （即每销售 100 元收取%r元）.为此，该衬衫每件价格要提高到 元才能保证公司利润，由于提价每年将少r 801r销售 万件.062（1）试将代理商收取的年代理费 表示为 的函数；f（2）如果代理商每年收取的代理费不小于 16 万元，求 的取值范围.r解（1）根据题意，代理商每年可销售 万件衬衫，每件衬衫的价
2、格为80.62元，因此年销售额为 万元。 4 分8%r80(.)1%rr所以代理商收取的年代理费 为f（万元）.6 分0.62(.62)10frr其中 。 （写为 也可以）8 分43431（2）依题意，得 ，10 分80(.)61r注意到 （ ） ，解得 .r013r因此所求 的取值范围是 .13 分0,312、 （14 分）某出版公司为一本畅销书定价如下: .这里*2(4,)15809,nNCn表示定购书的数量, 是定购 本书所付的钱数（单位:元）n)(nC（1）有多少个 ,会出现买多于 本书比恰好买 本书所花钱少?n（2）若一本书的成本价是 5 元,现有两人来买书,每人至少买 1 本,两人
3、共买 本,问60出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?解（1）C（n）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于 N 本书比恰好买n 本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少的现象.C（25）11 25275，C（23）12 23276，C（25）0， 0） ；3（2）根据规定，当海浪高度不低于 0.75 米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午 7 时至晚上 19 时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放（本题满分 12 分）（1）T=12，1cos()26yt。 4 分（2）3cs()4t，12t，
4、6 分 236ktk （kZ）即 4124ktk （kZ ） ， 10 分由 7t19，得 8t16，知该浴场有 8 小时可向冲浪爱好者开放。 12 分5 （本题满分 12 分，第（1）题 2 分，第（2）题 4 分，第（3）题 6 分）高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有 10 名同学，其中甲组有 4 名女同学；乙组有 6 名女同学。现采用分层抽样从甲、乙两组中共抽取 4 名同学进行学习情况调查。（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率；（3）求抽取的 4 名同学中恰有 2 名男同学的概率。5 （本题共 3 小题，第 1 小题 2 分，第 2 小
5、题 4 分，第 3 小题 6 分，满分 12 分）解：（1）甲、乙两组分别抽取 ，则 ，,xy210xy即甲、乙两组各抽 2 人 2 分（2） 6 分146085C（3）甲抽 2 男，乙抽 2 女： ； 8 分261019CP甲、乙两组各抽 1 男 1 女： ； 10 分46462210105甲抽 2 女，乙抽 2 男： ；43210CP12 分1236957P6 （本题满分 14 分）如图，一个计算装置有两个数据输入口、与一个运算结果输出口，当、分别输入正整数 时，输出结果记为 ， 且计算装置运算原理如下：nm, ),(nmf若、分别输入 1，则 ；若输入固定的正整数，输入的正整数增1大 1
6、，则输出结果比原来增大 3；若输入 1，输入正整数增大 1，则输出结果为原来3 倍。试求：4（1） 的表达式 ；),(mf )(N（2） 的表达式 ；n,n（3）若,都输入正整数 ,则输出结果 能否为 2006？若能,),(nf求出相应的 ;若不能,则请说明理由。6解：（1） ，112 3,31,31, mmffmff （2） ， , 1 nnfnfnfmf ，（3） ， ，13,1fn 2067483,6f， 输出结果不可能为 2006。206887),(nf7、 （本题满分 12 分）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离。在某种路面上，
7、某种型号汽车的刹车距离 （米）与汽车车速 （千sv米/小时）满足下列关系式 （ 为常数， ） ，我们做过两次刹车试验，4012vnsNn有关数据如图所示，其中 。17,862s（1）求 的值； n（2）要使刹车距离不超过 12.6 米，则行驶的最大速度应为多少？7、解：（1） ，1740917149520n6（2） ，6.2503vs 600802 vvv行驶的最大速度应为 千米/小时。8 （本题满分 14 分）运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制x（单位：千米/小时） 假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油501x升，司机的工资是每小时 14 元)362
8、(（）求这次行车总费用 关于 的表达式；yx（）当 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值 （精确小数点后两x位）58解：（）设行车所用时间为 ,)(130hxt21304(),5.6xy所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 18230,5.106yxx（或： ）10.,183x（） ，仅当.260y时，上述不等式中等号成立85,3621即答：当 x 约为 56.88km/h 时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为 82.16 元.9.（本题满分 14 分）如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P
9、从水中浮现时（图中点 p0）开始计算时间。（1）将点 p 距离水面的高度 z（m）表示为时间 t（s）的函数；（2）点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间？9、解：（1）如图建立直角坐标系，设角 是以 ox 为始边，op 0为终边的角，)02(op 每分钟内所转过的角为 ，得 z4sin ，当 t0 时，z0,t6)025(26(t得 sin ，即 ，故所求的函数关系式为 z4sin 22)（2）令 z4sin 26，得 sin 1，取 ，得 t4，故)(t )(tt点 P 第一次到达最高点大约需要 4S。 10、 （本题满分 14 分）某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄
10、水池中注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水， 小时内供水总量为 吨， （ ）t t612024t（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨? （2）若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 24 小时内，有几小时出现供水紧张现象。10、解：（1）设 小时后蓄水池中的水量为 吨，则 ； t ytt610令 ；则 ，即 ； t6x62xy120404)(2当 ，即 时， ，即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只tmin有 40 吨。（2）依题意 ，得 ，解得， ，即81042x328x， ；由 ，所以每天约有 8 小时供水
11、紧张。86t3t611(本题满分 12 分)某中学，由于不断深化教育改革，办学质量逐年提高。2006 年至 2009 年高考考入一流大学人数如下：年 份 2006 2007 2008 2009高考上线人数 116 172 220 260以年份为横坐标，当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系，由所给数据描点作图（如图所示） ，从图中可清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，因此，用一次函数来模拟高考上线人数与年份的函数关系，并以此来预测 2010 年高考一本上线人baxy数.如下表：年 份 2006 2007 2008 2009年份代码 x1 2 3 4实际上线人数 116 172 220 2
12、60模拟上线人数 baybayy为使模拟更逼近原始数据，用下列方法来确定模拟函数。设 ， 、 、 、 表示各年实2/42/32/2/1yS /1/2/3/4际上线人数， 、 、 、 表示模拟上线人数，当 最小时，模拟函数最为理想。试23y4S根据所给数据，预测 2010 年高考上线人数。11、解： 2222 604031716 babababaS278104b当 即 38425ba 时 ，S 有最小值，其中最小值为：M=47681026017216 2 aaa 222 3503 158405a当且仅当 48a时，M 有最小值。 48a代入得 7b。 327y。12(本题满分 14 分)某企业准
13、备在 2006 年对员工增加奖金 200 元，其中有 120 元是基本奖金。预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长 8%。另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加 30 元。那么，到哪一年底，(1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计( 以 2006 年为累计的第一年)将首次不少于750 元?(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85%?12、(1)设基本奖金形成数列a n，由题意可知a n是等差数列， (或 a1=120,，d=30，或 an 7=120+30 (n1)， Sn=a1n+ n(n1)d ，则 Sn=120n+15n(n1) =15
14、n2+105n=15(n2+7n)， 令215n2+105n750，即 n2+7n500，而 n 是正整数, n5。到 2010 年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于 750 元。6 分(2)设新增加的奖金形成数列b n，由题意可知b n是等比数列，( 或 b1=200，q=1.08，或bn=bn1q) ，则 bn=200 (1.08)n1 ， 由题意可知 an0.85 bn，有 120+30 (n1)200 (1.08)n10.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=5， 到 2010 年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85% 。13、 （本题
15、满分 14 分）某港口水的深度 y（米）是时间 ，下面是)(,):,240( tfyt 记 作的 函 数时单 位某日水深的数据：T（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 的图象。btAysin（1）试根据以上数据，求出函数 的近似表达式；)(tfy（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需下碰海底即可） ，某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5 米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需
