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1、1（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（3）1、 （ 16 分）已知数列 na中， ,1且点 NnaP1,在直线 01yx上.（1）求数列 的通项公式；（2 ）若函数 ,2,)(321 nf n且求函数 n的最小值；（3）设 Sab,表示数列 nb的前 项和试问：是否存在关于 的整式 ng，使得 gSn11321对于一切不小于 2 的自然数 恒成立？ 若存在，写出 ng的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。 解：（1）由点 P ),(na在直线 0yx上，即 1，-2 分且 ，数列 是以 1为首项，1 为公差的等差数列)2()(n ， a同样满足，所以 na -4分（2） nnf1
2、)2124132( n -6分01)( fnf所以 是单调递增，故 )(nf的最小值是 7)(f-10分（3） nb1，可得 Sn1321 ， )2(1nSn-12分)(，1n2相加得： 1321 nSSnS )(31nn，n2-15 分所以 g)(。故存在关于 n的整式 g（x）=n,使得对于一切不小于 2的自然数 n恒成立。-16 分2 （本题 14分） （第（1）小题 6分，第（2）小题 8分）设数列 是等差数列,a =6na5 当 a =3时,在数列 中找一项 a ,使 a 成等比数列，求 的值；3nam35,m 当 a =2时,若自然数 n （t=1,2,3, ）,满足 ，且使得t
3、12t0，所以 Sn= (nN)，当 n2 时，a n=SnSn1= ，又1n12a1=S1= ，所以 an= (nN) ，设 bn的首项为 b1，公比为 q，则有3123n，所以 ，所以 bn=3n(nN)， 0921qb1q(2) =( )n，设可以挑出一个无穷等比数列c n，首项为 c1=( )p，公比为( )k，(p、k N)，3 31它的各项和等于 = ，则有 ，所以( )p= 1( )k， 当 pk 时 3p3p26S8181)3(kp8k=8，即 3pk(3k1)=8， 因为 p、k N，所以只有 pk=0， k=2 时，即 p=k=2 时，数列c n的各项和为 。当 pp 右边
4、含有 3 的因数，而左边非 3 的倍数，不261存在 p、k N，所以唯一存在等比数列 cn，首项为 ，公比为 ，使它的各项和等于 。91261S17、 （本题满分 14分）关于 的方程 的两根为 ，且 ，若数列x0cotsi2in2 x,20， 的前 100 项和为 0，求 的值。1,1,n1,解： ，11101010 S ， ， costsin,2sin2sinin2， 。067或18、 （本题满分 16分）已知等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且满足na0dnnS，14,45132a（1）求数列 的通项公式；（2）通过 构造一个新的数列 ，是否存在一个非零常数 ，使 也为等cnSbn
5、bcnb差数列；（3）求 的最大值。*)()205()1Nfn解：（1）等差数列 中，公差 ，a0d13 。3495141453232132 nadaaa（2 ） ， ，令 ，即得nnS cnSb2121c，bn数列 为等差数列，存在一个非零常数 ，使 也为等差数列。21nb（3 ）， 20651065205)205()1 nnbnfn ，即827918944 ， 时， 有最大值 。5f 186094519、 （本题满分 16分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 10分。已知函数 是偶函数， 是奇函数，正数数列 满3)(2bxxf cxg)( na足 1211)a(ga
6、f,annnn（1） 求 的通项公式；（2）若 的前 项和为 ，求 .nnSnlim解：（1） 13)(2xf xg5)(， ，011nnaa321n1)(na（2） nlim32s20、 （本题满分 16分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 4分, 第 3小题满分 8分。已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为 9，无穷等比数列 各项的(01)qna2na和为 。15（1）求数列 的首项 和公比 ；na1q（2）对给定的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求(,23,)kn ()kTka12k的前 2007项之和；(2)T14（3） （理）设 为数列 的第 项， ：
7、ib)(iT12nnSb求 的表达式，并求出 取最大值时 的值。nS求正整数 ，使得 存在且不等于零。(1)mlinm（文）设 为数列 的第 项， ：求 的表达式，并求正整数ib)(iT12nnSb nS，使得 存在且不等于零。(1)linm（4+4+8） (1)依题意可知, 。3258192qaa(2)由(1)知, ,所以数列 的的首项为 ,公差 ,132nna)(T21at 312ad,即数列的前 项之和为 。6043707207S 076047(3) （理） = = = ；ib12iai1iai132iii ；371845nnSn由 ，解得 ，1nb2计算可得 ，08153,4,9,314,5,3652 bb因为当 时， ，所以 当 时取最大值。1nnS = ，mnSlili mm23784当 时， = ，当 时， =0，所以 。2nli21nSli2（文） = = = ；ibiai1iai13iii15；213271845nnSn= ，mnlili mnm当 时， = ，当 时， =0，所以 。2nSli21nSli2
