《上海市重点中学2010届高三数学月考试题（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市重点中学2010届高三数学月考试题（理科）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1上海市重点中学 2010 届高三数学月考试题（理科）2010.4.20 一、填空题：（4 分 14=56 分）1.已知集合 5xS，集合 037xT，则 TS 3,52.已知 z是纯虚数， iz12是实数，则 z i23.若 3cosin031，则 k Z4.在二项式52x的展开式中，含 4x的项的系数为_105.已知 nn1lim存在， )(fnn1lim，则 )(xf_1|0x6.已知函数 ()cosarifxx，则是：（1）偶函数 （2）周期函数，（3）定义域为 2, （4）值域为0，1，其中正确的是_（1） （4）7. 将棱长为 3 的正四面体的各条棱三等分,经过分点将原正四面体各顶
2、点附近均截去一个棱长为1 的小正四面体,则剩下的多面体的棱数是_188.某篮球队在 n场篮球比赛中，投进三分球的个数分别为a,321，则右图表示的框图输出的 s 的实际意义是 每场平均三分球个数9.已知 F是双曲线214xy的左焦点， (1,4)AP是双曲线右支上的动点，则 PA的最小值为 910.已知 AC、BD 为圆 2:4oxy的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 .511. 当无理数 x= 时，代数式 312x的值是整数 212.在一个盒子中，放有标号分别为 ， ， 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 、 y，记 x
3、y则随机变量 的数学期望是_ 9420123P94913.过椭圆 C: 132yx上的点 ）A(作斜率为 k与- （ )0的两条直线，分别交椭圆于NM,两点，则直线 的斜率为_ 3114.对于函数 nxmxf2)(（ ),2） ，若存在闭区间 ,ba,2ba，使得对任意 ba，恒有 (xf=c（ 为实常数） ，则实数 nm,的值依次为 1和 1二、选择题：（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）15.用长度分别为 2、3、4、5、6（单位： cm）的 5 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断） ，能够得到的三角形的最大面积为（ B ）A 28cm B 210c C 23 D
4、20cm16.已知二面角 l的大小为 06， P为空间中任意一点，则过点 P且与平面 和平面 所成的角都是 03的直线的条数为（ ）CA1 B2 C3 D417已知 0)(aca(x)f b，且方程 xf)(无实根。现有四个命题：方程f也一定无实根；若 ，则不等式 的一切 Rx成立；若 0a，则必存在实数 0x使不等式 0)(xf成立；若 0cba，则不等式 xf)(对一切Rx成立。其中真命题的个数是（ ）CA.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个18.已知点 O 是 ABC的内心，则下列等式恒成立的是( )D(A) 0 (B) 0OtanBtOAtan(C) 02sinsi2si
5、n (D) . CC3三、解答题 （14+14+14+14+18=74 分）19. 如图，圆锥的顶点为 S，底面中心为 OOC 是与底面直径 AB 垂直的一条半径，D 是母线 SC 的中点 （1）求证：BC 与 SA 不可能垂直；（2 ）若圆锥的高为 4，异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为 2arcos6，求圆锥的体积证法一：反证法。若 BCSA，又 SO，所以 BC平面 SAO 则 OAB 又已知 ，所以 /，矛盾所以 与 SA 不可能垂直证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则 (0,)(,0)(,)rCAr(0,)Sh， (0,),(,0)rhBr 2SAB所以
6、 B与 SA 不垂直（2 ） 建立如图坐标系，设底面半径为 ，由高为 4则 ),(r、 (,2)D，则(,)rAD， (,0)BCr ， 222cos,51654rADBCr，由 AD 与 BC 所成角为 2arcos6，所以 2615r，所以 23Vrh 20.已知函数 13)(2xf.()若函数 )(xf的值域为 4,，求实数 a的值；（）若函数)(xf对于定义域内的任意 值，都有 ,，求实数 的值；（） 已知,13a，求函数 )(f的值域。（1） 4；（2） 4,（3） ,5921. 某大型超市在 4 月 0日新进货某种货物 40箱， 21日开始销售，且每天能销售前一天的%0，并新进货
7、1箱（1）设 n天后所剩箱数为 na（第 1天为 2日） ，计算 1a， 2，并求 na；（2）若干天后，超市所剩余的箱数能否稳定在 490到 5箱之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由解析：依据题设计算出 1a， 2， 3，的值，从中寻找数列的变化规律，写出数列的递推式，SA BCOD4推测出 na的通项公式，最后研究通项 na与 490和 5的大小关系（1）由题意得， 401a， 4201%82，%8023， 1n，即 15na，551nna，所以，数列 na是等比数列140nn，1540n（2） 551nna，由 9na得，104101n， .0log8， 32.18.0lg所以，
8、天后（不含第 11 天）即第 2天开始，所剩箱数稳定在 49到 50箱之间22. 在平面直角坐标系中，已知两点 ),(),aNM，若某直线 l上有且只有一点 P，使10PNM，则称直线 l为“黄金直线” ，点 P 为“黄金点” 。（1） 当 3a时，点 )3,25(Q能否成为“黄金点” ，若能，求出“黄金直线”方程；若不能，请说明理由。（2）当 满足什么条件时, “黄金点” P 的轨迹是圆？此时的“黄金直线”具有什么特征?解析：（1）当 13a时，由椭圆定义知“黄金点”必在以 M、N 为焦点的椭圆上，由 2)(52，所以椭圆方程是 125yx，因 123)5(，从而点 Q 能成为“黄金点” ，
9、此时，设“黄金直线”为 )(3xky，由方程组 1625yxk得：01625)3(2516kx，整理得： 01625)3()( kx由 4)6222k 得： 153k，5所以“黄金直线”方程为 6315xy；（2）由第（1）题可知，当 0a时， “黄金点” P 的轨迹或是不存在或是线段或是以点 M、N 为焦点的椭圆，所以只有当 时，根据定义知“黄金点” P 的轨迹是以原点为圆心，5 长为半径的圆，其方程是 252yx，此时过圆周上任一点的切线都是“黄金直线” 。23、 （第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）设数列 na的前 项和为 nS，对任意的正整数 n，都有
10、51naS成立，记*4()1nnbN。（I）求数列 的通项公式；（II）记 *21()nncb，设数列 nc的前 项和为 nT，求证：对任意正整数 n都有3T；（III）设数列 n的前 项和为 nR。已知正实数 满足：对任意正整数 ,nR恒成立，求的最小值。解：（）当 1时， 115,4aa又 15,5nnaaQ15,4nnna即数列 n成等比数列，其首项 4，公比是 14q()4nn .4 分()1nnb= 1)4(5n.2 分（）由（）知. 54()nn21221216()4nnnnncb= 225656()34)(nnnn 又 12134,bc当 1T时 ， 8 分当 23125()36
11、16n nK时 ，6122()4165393.71486n分（）由（）知 5()nnb一方面，已知 nR恒成立，取 n 为大于 1 的奇数时，设 *21()nkN则 1221nkbK32145( )414kK12 21()()k n4,41Rn即 （ ）对一切大于 1 的奇数 n 恒成立,否 则 ， （ ）只对满足 4的正奇数 n 成立，矛盾。另一方面，当 时，对一切的正整数 n 都有 nR事实上，对任意的正整数 k，有2121258(4)()1nkkb5208(6)1()4kk60(1)k当 n 为偶数时，设 *()nmN则 123421()()n mRbbbK 84 当 n 为奇数时，设 *nN则 12342321()()()mm ()84mn对一切的正整数 n，都有 nR综上所述，正实数 的最小值为 418 分12 分
