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1、新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识初一数学基础知识讲义第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 也可以写成： |0a当 为 正 数当 为当 为 负 数说明：（）|a|0 即|a|是一个非负数；（）|a|概念中蕴含分类讨论思想。三、 典型例题例 1 （数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |
2、 的值等于（ A ）新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识A-3a B 2ca C2a2b D b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由 a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例 2已知： ， ，且 ， 那么zx00xyxzyxzy的值（ C ）A是正数
3、B是负数C是零D不能确定符号解：由题意，x、y、z 在数轴上的位置如图所示：所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。例 3 （分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息， “数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么
4、究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为 x，乙数为 y由题意得： ， 3（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若 x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以 y=2 ,x= -6若 x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以 y=4,x=12例 4 （整体的思想）方程 的解的个数是（ D ）xx208A1 个 B2 个 C 3 个 D无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将 x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，a所以零
5、和任意负数都是方程的解，即本题的答案为 D。 0)()(zyxyx新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识1)(xx201861421例 5 （非负性）已知|ab2| 与 |a1|互为相互数，试求下式的值1112207bab分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=| a1|=0 ，解得：a=1,b=2于是 1 207a2098120918432在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例 6 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与
6、，3 与 5， 与22， 与 3. 4并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_相等 .（2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1，则 A 与 B 两点间的距离可以表示为 分析：点 B 表示的数为1，所以我们可以在数轴上找到点 B 所在的位置。那么点 A 呢？因为 x 可以表示任意有理数，所以点 A 可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出 A 与 B 两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当 x0，距离为x+1综上，我们得到 A 与 B 两点间的距离可以表示为 1x（3）结合数轴求得 的最小值为 5 ，取得最小值时
7、 x 的取值范围为 -23x3x_2_.新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识分析： 即 x 与 2 的差的绝对值，它可以表示数轴上 x 与 2 之间的距离。即 x 与-3 的差的绝对值，它也可以表示数轴上 x 与-3 之间的距离。)3(如图，x 在数轴上的位置有三种可能：图 1 图 2 图 3图 2 符合题意（4） 满足 的 的取值范围为 x-1 34xx分析： 同理 表示数轴上 x 与-1 之间的距离， 表示数轴上 x 与-4 之间的距14x离。本题即求，当 x 是什么数时 x 与-1 之间的距离加上 x 与-4 之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1。说
8、明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， 表示的几何意义就是在数轴上表示数 A 与数 B 的点之间的距离。这是BA一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3） 、 （4）这两道难题。 四、 小结1理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该
9、重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识208712023a二、典型例题例 1若多项式 的值与 x 无关，yxxm53785222求 的值.4分析：多项式的值与 x 无关，即含 x 的项系数均为零因为 832537852 222 yxmy所以 m=4将 m=4 代人， 4164422 m利用“整体思想”求代数式的值例 2x=-2 时，代数式 的值为 8，求当
10、x=2 时，代数式635cxba的值。635cxba分析： 因为 835cx当 x=-2 时， 得到 ，62ba 86235cba所以 14235c当 x=2 时， =5x 0)14(35c例 3当代数式 的值为 7 时,求代数式 的值.32x 292x分析：观察两个代数式的系数由 得 ，利用方程同解原理，得5232x 6932x整体代人， 4932x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例 4 已知 ，求 的值.012a2073a分析：解法一（整体代人）：由 得 12023a所以：新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一
11、数学基础知识2087120)(7223aa解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。由 ，得 ，012a12所以： 解法三（降次、消元）： （消元、 、减项）12a20871207)(223a例 5 （实际应用）A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第 n 年的实际收入（元）第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=1005
12、0第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A 公司 10000+200(n-1） ； B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+200(n-1)由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。例 6三个数 a、b 、c 的积为负数，和为正数，且 ，bcacbax则 的值是_ 。123x解：因为 abc0，所以 a、b、c 中只有一个是负数。不妨设 a0，c0则 ab0新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 将 x=0 代入
13、要求的代数式，得到结果为 1。同理，当 b0 时，即 x ， 5x-2=3， 5x=5， x=1因为 x=1 符合大前提 x ，所以此时方程的解是 x=152当 5x-2=0 时，即 x= ， 得到矛盾等式 0=3，所以此时方程无解当 5x-20 时，即 x1，x-1=-2x+1，3x=2 ，x= 32新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识因为 x= 不符合大前提 x1，所以此时方程无解32当 x-1=0 时，即 x=1，0=-2+1，0 =-1 ，此时方程无解当 x-1AD B.ACBD D. CD31 23新东方在线 网络课堂电子教材系列 初一数学基础知识A B 1 E F 2 C P D 34 l3l2l112xzyA BCFDE10. 如图所示,L 1,L2,L3交于点 O,1=2,3:1=8:1,求4 的度数.( 方程思想)答案：3611 如图所示,已知 ABCD,分别探索下列四个图形中P 与A,C 的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.PDCBA PDCBA PDCBAPDCBA(1) (2) (3) (4)（1）
