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1、2005 年全国大学生数学建模竞赛题目A 题 长江水质的评价和预测 水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004 年 10 月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线 21 个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态 10 年内将濒临崩溃
2、”（附件），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件 2）。附件 3 给出了长江沿线 17 个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于 0.10.5 之间，比如可以考虑取 0.
3、2 (单位：1/天)。附件 4是“19952004 年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的地表水环境质量标准中 4 个主要项目标准限值，其中、类为可饮用水。请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况。（4）根据你的预测分析，如果未来 10 年内每年都要求长江干流的类和类
4、水的比例控制在 20%以内，且没有劣类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。附表: 地表水环境质量标准（G B38382002） 中 4 个主要项目标准限值 单位：mg/L 序号分 类 标准值 项 目类 类 类 类 类劣类1溶解氧(DO) 7.5（或饱和率90%）6 5 3 202 高锰酸盐指数(CODMn) 2 4 6 10 15 3 氨氮（NH3-N） 0.15 0.5 1.0 1.5 2.0 4 PH 值（无量纲） 6-9 B 题 DVD 在线租赁随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和
5、知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看
6、完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD呢？表 2 中列出了网站手上
7、 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000位会员的在线订单（表 2 的数据格式示例如下表 2，具体数据请从 http:/ 下载），如何对这些 DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确
8、提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。表 1 对 1000 个会员调查的部分结果 DVD 名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5愿意观看的人数200 100 50 25 10 表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例） DVD 编号 D001 D002 D003 D004 DVD 现有数量10 40 15 20 C0001 6 0 0 0 C0002 0 0 0 0 C0003 0 0 0 3 C0004 0 0 0 0 会员在线订单 注：D001D100 表示 100 种 DVD, C0001C1000 表示 1000 个会员, 会员的在线订单用数字 1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0 表示对应的 DVD 当前不在会员的在线订单中。
