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1、尤新教育辅导学校1第二十三章 一元二次方程231 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念教学目标了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目1通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义2一元二次方程的一般形式及其有关概念3解决一些概念性的题目4态度、情感、价值观4通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情重难点关键1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型
2、，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一、复习引入学生活动：列方程问题（1） 九章算术 “勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为 x尺，那么，这个门的宽为_尺，根据题意，得_整理、化简，得：_问题（2）如图，如果 ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点ACB BCA 如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=_，根据题意，得：_整理得：_问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好
3、变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？尤新教育辅导学校2如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_整理，得：_老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理二、探索新知学生活动：请口答下面问题（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任
4、何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程（8-2x） （5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0 ） 因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4
5、x 2-26x+22=0其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22例 2 （学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） 2+（x-2） （x+2）=1 化成ax2+bx+c=0（a0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x 2+2x-4=0其中：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4三、巩固练习教材 P32 练习 1、2四、应用拓展例 3求证：关
6、于 x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+170 即尤新教育辅导学校3可证明：m 2-8m+17=（m-4） 2+1（m-4） 20（m-4） 2+10，即（m-4） 2+10不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用六、布置作业1教材 P34 习题 221 1、22
7、选用作业设计作业设计一、选择题1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x 2+7=0 ax 2+bx+c=0 （x-2） （x+5）=x 2-1 3x 2- =05xA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，63px 2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp 为任意实数二、填空题1方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2一元二次方程的一般形式是_3关于 x 的方程
8、（a-1）x 2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是_三、综合提高题1a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x 2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？32关于 x 的方程（2m 2+m）x m+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？为什么？尤新教育辅导学校43一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x 2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4x2-3x-1 -3 -3所以，_0，ax 2+bx+c=0（a0）
9、有两个不等的实根，反之也成立；b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac0、b 2-4ac=0、b 2-4ac0 一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac0，有两个不相等的实根；（2）b 2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2-4ac=-441=0（0 时，根据平方根的意义， 等24bac 24bac尤新教育辅导学校14于一个具体数，所以一元一次方程的 x1= x 1= ，即有两24bac24bac个不相等的实根当 b2-4ac=0 时，根据平方根的意义 =0，所以
10、 x1=x2= ，2 b即有两个相等的实根；当 b2-4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即 x1= ，x 2= 4ac24bc（2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即 x1=x2=ba（3）当 b2-4ac0方程有两个不相等的实根（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7） 2-41（-18）=1210方程有两个不相等的实根三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x 2+10x+26=0 （2）x 2-x- =034（3）3x 2+6x-5=0 （4）4x 2-x+ =016尤新教育辅
11、导学校15（5）x 2- x- =0 （6）4x 2-6x=0314（7）x（2x-4）=5-8x四、应用拓展例 2若关于 x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0 没有实数解，求 ax+30 的解集（用含 a 的式子表示） 分析：要求 ax+30 的解集，就是求 ax-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a） 2-4（a-2）（a+1）0 即 ax-3x0 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实根；b 2-4ac=0 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个相
12、等的实根；b 2-4ac2 Ck0，有两个不等实根 （2）b 2-4ac=1+4 +12-4 -16=-30，方程有两个不等的实根3b 2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k 2-8k+4=4（k-1） 20，方程有两个不相等的实根或相等的实根4设平均增长率为 x， （1+x） 2=720000000，408%即 50（1+x） 2=72 解得 x=20%，年销售总额的平均增长率是 20%23.2 解一元二次方程(公式法)教学内容1一元二次方程求根公式的推导过程；2公式法的概念；3利用公式法解一元二次方程教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次
13、方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程尤新教育辅导学校17重难点关键1重点：求根公式的推导和公式法的应用2难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52（老师点评） （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为 1，得：x 2- x=-761配方，得：x 2- x+（ ） 2=- +（ ） 2（x- ） 2=154x- = x1= + = =1 7725x2=- + = =6（2）略总结用配方法解一
14、元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） （1）移项；（2）化二次项系数为 1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m） 2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根 x1=，x 2=24bac24bca分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c也当成一个具体数字，根据上面
15、的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ x=-bac尤新教育辅导学校18配方，得：x 2+ x+（ ） 2=- +（ ） 2bacab即（x+ ） 2= 4b 2-4ac0 且 4a20 024ac直接开平方，得：x+ =ba24c即 x=24bcx 1= ，x 2=2a24bac由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x= 就得到方程的根24bca（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式
