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1、习题精选精讲1线 性 规 划 常 见 题 型 及 解 法一基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式 表示直线 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示0CByAx 0CByAx不包括边界， 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线 同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入 ，所得的符号相同，yx CByAx所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（ ） ，从 的正负即可判断 表示直线0,yxCByAx0 0哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0） 。（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量 x、 y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、 y 的一次不等
2、式，所以又可称其为线性约束条件. z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于 x、 y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（ x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（ ）和（ ）分别使目标函数取得最大值和最小值，1,yx2,yx它们都叫做这个问题的最优
3、解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设 z=0，画出直线 l0.3.观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优
4、解.线 性 规 划 是 新 教 材 中 新 增 的 内 容 之 一 ， 由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ， 并 作 出 可 行 域 ， 进 而 通 过 平 移 直线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型 ， 除 此 之 外 ， 还 有 以 下 常 见 题 型 。一 、 求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 2xy（ ）A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、 （ 3,5二 、 求 可 行 域 的 面 积xyO 22x=2y
5、 =2x + y =2BA习题精选精讲2例 2、 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 （ ）2603xyA、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大三 、 求 可 行 域 中 整 点 个 数例 3、 满 足 |x| |y| 2 的 点 （ x， y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （ ）A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个解 ： |x| |y| 2 等 价 于(0,)2,()xyxy作 出 可 行 域 如 右 图 ， 是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整点 个 数 为 13 个 ， 选
6、 D四 、 求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围例 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 使503xyz=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为 （ ）A、 3 B、 3 C、 1 D、 1解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+ay 0， 要 使 目 标 函 数z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 将 l 向 右 上方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D五 、 求 非 线 性 目 标 函 数 的
7、最 值例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ， 则 z=x2+y2 的2043xy最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （ ）A、 13， 1 B、 13， 2 C、 13， D、 ，451325解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 点 （ x， y） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ，故 最 大 值 为 点 A（ 2,3） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即 |AO|2=13， 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y 2=0的 距 离 的 平 方 ， 即 为 ， 选 C45六 、 求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围
8、例 6、 已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0） 和（ 1,1） ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ）A、 （ -3,6） B、 （ 0,6） C、 （ 0,3） D、 （ -3,3）xyOO2x y = 0y2x y + 3 = 0x + y = 5x y + 5 = 0Oyxx=32x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA习题精选精讲3解 ： |2x y m| 3 等 价 于 由 右 图 可 知 ,故 0 m 3， 选 C230xym3线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都
9、会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?木料(单位
10、 m3)产 品 第 一 种 第 二 种圆 桌 0.18 0.08衣 柜 0.09 0.28解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 而 z=6x+10y.05628.791yxy如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组 ,得 M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 1005628.0.791y个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用
11、它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知 (这 个式子中的“”也可以是nmnnmbxaxa 21 222 1121“”或“=”号)其中 aij (i=1,2,n, j=1,2,m),bi (i=1,2,n)都是常量, xj (j=1,2,m) 是非负变量,求z=c1x1+c2x2+cmxm的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二
12、是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该习题精选精讲4项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足 x,yN ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线 l，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要
13、用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使 获得利润最多?木料(单位 m3)产 品第 一 种 第 二 种圆 桌 0.18 0.08衣 柜 0.09 0.28解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 而 z=6x+10y.如图所示,05628.791yxy作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点距离最大,此时 z=6
14、x+10y 取最大值。解方程组 ,得 M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌 350 只,生5628.0.791yx产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线 0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点M。例 2 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于 配套，31怎样截最合理？ 解：设截 500mm 的钢管 x 根，600mm 的 y根，总数为 z 根。根据题意，得 ，目标函数为 ，作出如图所示的可行域内的整点， 作一组平行直线 x+y=t，经过可行域内的点且和原点
15、距离最远的直线为过 B（8，0）的直线，这时 x+y=8.由于 x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使 x+y=7，可知点（2，5） ， （3，4） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，1）均为最优解答：略点评：本题与上题的不同之处在于，直线 x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点 B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使 x+y=7，从而求得最优解。 从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。习题精选精讲5二、整点调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解 例 3已知 满足不等式组 ，求使 取最大值的整,xy230651xyxy数 ,xy解：不等式组的解集为三直线 ：1l， ： ， ： 所围成的三角形内部（不含边界） ，设 与 ， 与 ，2302l360xy3510xy1l21l3与 交点分别为 ，则 坐标分别为 ， ， ，l,ABC, 3(,)84A(,)B7512(,)9C作一组平行线 ： 平行于 ： ，当 往 右上方移
