《环及同态基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《环及同态基本定理（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、环的同态基本定理(1) 是环， 是它的理想，则 到商环 有满同态 ，RSRSSa:，a称为 到 的自然同态；(2) ， 是环， 是环 到环 的满同态，令 ，则商环 与环RR KerKR同构证明(1) ，baSbaSba ， S1故 保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态又，RaSRa即 是满同态(2)首先，作为像集合 这是因为 中任一元 在 下的像为零，KKk则akaK0由此有 到 的映射R RS aKa又 b Kbaa ，Kb Kaa ，K，RRK11故 是 到 的环同态又 到 的环的满同态 ，只看 与 的加法群KR R结构是加法群的满同态而 是加法群同态的核由群的同态基本定理，er
2、是 到 的加法群同构，即 是双射故 是环同构 例 11 是域， 是 上多项式环， 是 的非零理想，则有非零多项FxFNxF式 ，使 xmxmN证明取 中次数最低的多项式为 ，任取 ，作除法算式xf，rxqf这里 或 若 ，则 由于 是理0xrmxr0xmN想， ，又 ，故NqfNxqfxr这与 是 中最低次数多项式矛盾，因此 ， 这就证xm0rxqmf明了 FN例 12 只有零元的理想和自身两个理想Mn证明设 是 的非零理想记 为第 行第 列的元为 1，其余位置上元ijej为零的 上 方阵回忆有性质F.,0,iseljijls当当上任意 方阵 ，可写成FnijaA现设 ，则有 ，某 ， 于是n
3、jiijeaA1, N00ikalknji lkkijlikl NeeAe1,对任 ， ，作 ，则 于是任意ijijkjlilkeae1 NijNbenjiijinjiji 1,1,这就证明了 FMn模同态基本定理设 是 模 到 模 的一个模同态，则由 诱导出模同构R ， ，使 ， N： kerxNM证明设 为 到 的一个模同态，则其核 是 的一个子模，同态象M ker是 的一个子模 ，规定 erxN：，M于是 即为 到 的一个同构映射这是因为：1)若 ，则NM Nyx，使 ， ，故nnyxynynx，即在 之下， 的每一个元在 中有唯一的象，从而 是映射；2)NM， ， ，由 的定义知 ，故 是满MxxxxNx射；3) 若 ，则 ，于是yy， Nyxxxxx 00故 为单射；） 为 到 的模同态事实上NMRaNyx，有 yxNyxaxNxa Nxa因此， 为 到 的模同构，即NMMN其中 为 的核ker参考文献16 胡庆平，李丹，胡志刚系统间的一类联系同态与同构J昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：511
