《大学概率与数理统计答案3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学概率与数理统计答案3（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1习题三1. 将一硬 币抛掷三次 ， 以 X 表示在 三次中出现 正面的次数 ， 以 Y 表示三 次中出现正 面次数 与出现反 面次数之差 的绝对值 . 试写出 X 和 Y 的联合 分布律 .【解】 X 和 Y 的联合 分布律如表 ：2. 盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取 到红球的只 数 . 求 X 和 Y 的联合 分布律 .【解】 X 和 Y 的联合 分布律如表 ：3. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的联 合分布函数 为 F （ x ， y ） = .,0 20,20,s i ns i n 其他 yxyx
2、求二维 随机变量（ X ， Y ）在长 方形域 内的概 率 . + .,0 ,0,0,)43( 其他 yxA yxe求 ：（ 1 ） 常数 A ；（ 2 ） 随机变 量（ X ， Y ）的分 布函数；（ 3 ） P 0 X = = 其 他( 3 ) 0 1 , 0 2 P X Y .,0 ,0,5 5 其他 yye求 ：（ 1 ） X 与 Y 的 联 合 分 布 密 度 ；（ 2 ） P Y X .题 6 图【 解 】 （ 1 ） 因 X 在（ 0 ， 0.2 ）上服 从均匀分布 ，所以 X 的密度 函数为1, 0 0. 2 ,( ) 0. 20, .X xf x = 其 他所以 ( , )
3、, ( ) ( )X Yf x y X Y f x f yi独 立5 51 5 e 25 e , 0 0. 2 0 ,0. 2 0 ,0 , y y x y = = 且其 他 .( 2 ) 5( ) ( , ) d d 25 e d dyy x DP Y X f x y x y x y = 如 图0 . 2 0 . 2- 5 50 0 0- 1 d 25e d ( 5 e 5 ) d= e 0. 3679.x y xx y x= = + 7. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的联 合分布函数 为F （ x ， y ） = .,0 ,0,0) ,1) (1( 24 其他 yxyx ee求（ X
4、 ， Y ）的联 合分布密度 .【解】 ( 4 2 )2 8 e , 0 , 0 ,( , )( , ) 0 , x y x yF x yf x y x y + = = 其 他 .8. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = 4. 8 ( 2 ) , 0 1 , 0 ,0 , .y x x y x 其 他求边缘 概率密度 .【解】 ( ) ( , ) dXf x f x y y+ = x 20 4. 8 ( 2 ) d 2. 4 ( 2 ) , 0 1 ,= 0 , .0 , y x y x x x = 其 他( ) ( , ) dYf y f x y x+
5、 = 12y 4. 8 ( 2 ) d 2. 4 ( 3 4 ) , 0 1 ,= 0 , .0 , y x x y y y y + = 其 他课后答案网 5题 8 图 题 9 图9. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = = 其 他( ) ( , ) dYf y f x y x+ = 0 e d e , 0 ,= 0 , .0 , y y xx y y = 其 他题 10 图10. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率密度为f （ x ， y ） = .,0 ,1, 22 yxyc x（ 1 ） 试确定 常数 c ；（ 2 ） 求边缘 概率密度 .
6、【 解 】 （ 1 ） ( , ) d d ( , ) d dDf x y x y f x y x y+ + 如 图21 1 2- 1 4= d d 1.21xx c x y y c= = 得 .214c =( 2 ) ( ) ( , ) dXf x f x y y+ = 课后答案网 621 2 42 2121 ( 1 ) , 1 1 ,d 840 , 0 , .x x x xx y y = = 其 他( ) ( , ) dYf y f x y x+ = 52 221 7d , 0 1 ,4 20 , 0 , .y y x y x y y = = 其 他1 1 . 设随机 变量（ X ， Y
7、）的概 率密度为 f （ x ， y ） = .,0 ,0,21 2/ 其他 yye（ 1 ）求 X 和 Y 的联合 概率密度；（ 2 ） 设含有 a 的二次 方程为 a 2 + 2 X a + Y = 0 ，试求 a 有实根 的概率 .【 解 】 （ 1 ） 因 1 , 0 1 ,( )0 ,X xf x = = 其 他 .故 / 21 e 0 1 , 0 ,( , ) , ( ) ( ) 20 , .yX Y x yf x y X Y f x f y = i独 立 其 他题 14 图( 2 ) 方程 有实根 的条件是2 2 0a X a Y+ + =2( 2 ) 4 0X Y = 故 X
8、2 Y ，从而方 程有实根的 概率为：22 ( , ) d dx yP X Y f x y x y = 21 / 20 0 1d e d21 2 ( 1 ) ( 0) 0. 1445.x yx y = = 15. 设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件 的寿命（以 小时计），并设 X 和 Y 相互独立，且服从同一 分布，其概 率密度为 iP X x= 0. 2 0. 42 0. 38课后答案网 9f （ x ） = .,0 ,1000,10002 其他xx求 Z = X / Y 的概率 密度 .【解】 如图 , Z 的分布 函数 ( ) Z XF z P Z z P zY= = ( 1 )
9、当 z 0 时， ( ) 0ZF z =（ 2 ） 当 0 = = = + = = 0 , 1 , 2 , 3 ,i =于是( 4 ) 类似上 述过程，有20. 雷达的 圆形屏幕半 径为 R ，设目 标出现点（ X ， Y ）在屏 幕上服从均 匀分布 .（ 1 ） 求 P Y 0 Y X ；（ 2 ） 设 M = m a x X ， Y ，求 P M 0 .题 20 图【解】 因（ X ， Y ）的联 合概率密度 为2 2 221 , ,( , ) 0 , .x y Rf x y R + = 其 他（ 1 ） 0 , 0 | P Y Y XP Y Y X P Y X = 0 ( , ) d(
10、, ) dyy xy xf x yf x y = V = m a x( X , Y ) 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28U = m i n ( X , Y ) 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17W = X + Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05课后答案网 13 2 / 4 05 4 2 / 4 0 1d d 1d dRR r rR r rR= 3 / 8 3 ;1 / 2 4= =( 2 ) 0 m a x( , ) 0 1 m a x(
11、 , ) 0 P M P X Y P X Y = = 00 1 31 0 , 0 1 ( , ) d 1 .4 4xyP X Y f x y = = = = 21. 设平面区域 D 由曲线 y = 1/ x 及直线 y = 0 ， x = 1,x= e 2 所围成，二维随机变量（ X ， Y ）在区域 D 上服从 均匀分布， 求（ X ， Y ）关于 X 的边缘 概率密度在 x = 2 处的值 为多少？题 21 图【解】 区域 D 的面积 为 （ X , Y ）的联 合密度函数 为2 2e e0 11 1 d l n 2.S x xx= = =21 1, 1 e , 0 ,( , ) 20 ,
12、 .x yf x y x 0 ) 的泊松 分布，每 位乘 客在中途下 车的概率 为p （ 0 1 , 0 3 ,( ) 30 , 0 , 3.yf y y y = 因为 X ， Y 相互独 立，所以1 , 0 3 , 0 3 ,( , ) 90 , 0 , 0 , 3 , 3. x yf x y x y x y = 推得 .1m a x , 1 9P X Y =26. 设二维 随机变量（ X ， Y ）的概 率分布为课后答案网 16其中 a , b , c 为常数 ，且 X 的数学 期望 E ( X ) = 0.2, P Y 0| X 0 = 0.5 ，记 Z = X + Y . 求：（ 1
13、） a , b , c 的值；（ 2 ） Z 的概率 分布；（ 3 ） P X = Z .解 ( 1 ) 由概率 分布的性质 知， a+ b+ c + 0 .6= 1 即 a+ b+ c = 0.4 .由 ，可得( ) 0. 2E X = .0. 1a c + = 再由 , 0 , 0 0. 1 0 0 0. 5 0 0. 5P X Y a bP Y X P X a b + + = = = + +得 .0. 3a b+ =解以上 关于 a ， b ， c 的三个 方程得 .0. 2 , 0. 1 , 0. 1a b c= = =( 2 ) Z 的可能 取值为 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 2
14、 ， ， 2 1 , 1 0. 2P Z P X Y= = = = =， 1 1 , 0 0 , 1 0. 1P Z P X Y P X Y= = = = + = = = ， 0 1 , 1 0 , 0 1 , 1 0. 3P Z P X Y P X Y P X Y= = = = + = = + = = =， 1 1 , 0 0 , 1 0. 3P Z P X Y P X Y= = = = + = = =， 2 1 , 1 0. 1P Z P X Y= = = = =即 Z 的概率 分布为( 3 ) . 0 0. 1 0. 2 0. 1 0. 1 0. 2 0. 4P X Z P Y b= = = = + + = + + = 1 0 1 101 a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 cZ 2
