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1、55习 题 五1假设有 10 只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。解 设 为已取出的废品只数，则 的分布为XX012889P即012845X所以，29E28,451X248().50D2假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作，若 1 周 5 个工作日里无故障，可获利 10 万元；发生一次故障仍可获利 5 万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。求 1 周内期望利润是多少？解 设一周所获利润为 （万元）
2、 ，则 的可能值为 .T0,2又设 为机器一周内发生故障的次数，则 ，于是，X(.)XB5(10)()(0.8.37PT1452)96C类似地可求出 的分布为20.79.480.96.37所以一周内的期望利润为.5.10.2ET（万元）23假设自动线加工的某种零件的内径 （毫米）服从正态分布 ，内径小于 10 或大于X(,1)N12 为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 （元）与零件的内T径 有如下关系：X561,0,2125,.XT若若若问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大.解 1(0)2(12)5(12)EPXPXP025()()121dT2(0)
3、(1)250ee即221()(10)5两边取对数得ln25即.1l时，平均利润最大.4从学校到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的分布律、分布函数和数学期望.25XX解 ，分布律为(3,)B332()()0,123.5kkPXC即01275468215P的分布函数为X570,271158(),2,7,3,125.xFxxx4065EX5设随机变量服从几何分布，其分布列为，1()(kPp,1,2k求 与 D解 1 111 1()()kkkkk xqxqEXqpp其中 qp由函数的幂级数展开有，01kx所
4、以21.()xqxqEXppp因为，221 211()(1)kkxqxqkp 2p所以222().DXEp解 2 13kPpqq 2(1), 设（1）213,kSq 则（2）,kq （1）（2）得58，21(1)kqSqq 所以，2(1)p从而，得.21EXpSp2 213nqq ，( )pS 21 ,q 212)5(,nS 32 ),qq ，21(n qp ，221Sp于是，213q所以，22321()EXpp故得 的方差为 22221() .qpDEXp6设随机变量 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.（1） ；|()2xfe（2） 1|,|1,0;X（3）25(),2,()6,xx
5、f其 他（4）01,()2,.fxx其 他59解 （1） ， （因为被积函数为奇函数）|102xEXed| 20xxDed20xee02.xe（2） 1(|),EXd.34122231010|()6xDxxd（3） 35405()66,245011xx，26540()EXd 276505487xx所以.2281()7D（4） ,23120118) 1xEXxdxd,233 4(8)(6)42所以.146DX7在习题三第 4 题中求 1EX解 因 的分布为0231148P所以.671239EX8设随机变量 的概率密度为,02,()4,axfcb其 他 .60已知 ，求32,(1)4EXP（1）
6、的值abc（2）随机变量 的数学期望和方差.XYe解 （1） 2402()()fxdaxcbdx24026,acb420()()xfxcx，8563ac，231235()42xdbdxacb解方程组8156332abc得，14a，b.c（2） ，2420211()()()(1)4XxxxEYefdeed2 2xxe 2221()(1)44e.2DYE9游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟，25 分钟和 55 分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第 分钟到达底层候梯处，且 在 上均匀分布，求该游客XX0,6等候时间的数学期望.解 设候梯时间为 ，则T615,5,22()
7、,60.XTg601()()()EXxfdgxd5255600 251 ()6 xd .2.437.1610设某种商品每周的需求量 是服从区间 上均匀分布的随机变量，而经销商店进货X0,3量为区间 中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于求则削价处理，10,3每处理一单位商品亏损 100 元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300 元，为使商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最小进货量。 解 设商店获得的利润为 ，进货量为 ，则Ty50()30,30,()1.yXXTg y32,6由题意9280()ETgxfd30106)(2)y yxx
8、yd 27.535,即.27.304解不等式得，2063y即使利润的期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 个单位.11设 与 同分布，且 的概率密度为XYX2,0,()8.xf其 他（1）已知事件 和事件 独立，且 ，求常数 ；AaBYa34PABa（2）求 。2EX62解 （1） 2331()8aPXxda3()()4ABPAB，332864即有方程323()1()80,a即，84a可见或 ，312a3解之得 或 （不合题意） 故 .434a（2） .208EdxX12于习题四第 15 题中求 的数学期望.()sin2XYZ解 的分布为,Y()0,(,1)0(,1),0(2,1).
9、5.5.ijxypsnsin2sin2EZ3i0.10.1.5513设 的分布律为(,)XYYX 1 0 1 ip1230.20.100.100.30.10.10.10.40.20.4jp0.3 0.4 0.3解 （1） .4.230.4,E；Y（2） 1()1.2(/)0.3jiiyZpXx；10.0.235（3） ()EWY2 2()()()DEDXYEXYE（1）求 ,EXY（2）设 ，求Z（3）设 ，求2()WE632222()()04ijiIJEXEYxyp0.4.90.4.30(.2.1.1318645或22222()WYXYEXY0.4.90.4(.0.10.13.)3865或，
10、先求 的分布2()X10.304YP.495EW14设离散型二维随机变量 在点 取值的概率均为 ，(,)XY11(,),(,)(,)2414求 ,.XYD解 ，110424，2 5668E所以 ；58X110,44Y；27632DE11(1)()()44X9.48115设 的概率密度为(,)Y2(),0,0.xyeyfxy其 他求 的数学期望.2XZ解 2()2204xyEYxyed204cosinrred2420sinrd642232001cos3rreed203()rrd2204rrede 22134tr ted令3.16设二维随机变量 的概率密度为(,)XY1|,01,0,.yxfx其
11、它求 .,(2)EXYD解 ；112003xEXdyxd；xY；10y，11223002xEXdyxd于是；2()318D故4().9X17假设随机变量 服从参数为 的指数分布，随机变量Y10,2.1kk若若求（1） 的联合分布， （2） .12,X1()EX解 （1） 的分布：()20,(1,2)PPY，()e，1,02()X12()Y（2） .11212()EXEe18设连续型随机变量 的所有可能值在区间 之内，证明：,aby0 x120eX2X165（1） ；aEXb（2）2().4D证 （1）因为 ，所以 ，即 ；EaXbaEXb（2）因为对于任意的常数 有C，2()X取 ，则有abC
12、 2222()()()().4abababDEE19一商店经销某种商品，每周进货量 与顾客对该种商品的需求量 是相互独立的随机变量，XY且都服从区间 上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进10,2货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。解 设 为一周内所得利润，则T10, ,(,)5(),.YXYgX,5().,(,),ETgYgxyfdxy其中 1,02,10,(,).fxy其 他所以1 2050()1DDETydxxydx2010y213()5(50)dydy（元）.467320设
13、是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为,XY2,01();Xxf其 他 (5),()0.yYefD2 D1y201020100 x66求 (),()EXYD解 ，1203xd6（注：因为参数为 1 的指数分布的数学期望为 1，而 是前指数分布向右平移了 5 个单位，所以()Yfy）5EY因 独立，所以,X.2643EY今求 D方法 1 22()X13206()16YxdDYE.751322方法 2 利用公式：当 独立时,X2()()DYEYX14361.58921在长为 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.L解 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 ，则它们均在 上服,XY0,L从均匀分布，且 相互独立.,XY220011|(,)()()LxLxExyfdydyd222013L222001|()LLXYxydxdyxdy4236L所以.22|918DXY22设 随 机 变 量 与 独 立 ， 且 服 从 均 值 为 1， 标
