知识点多元函数微分概念

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1、知识点：多元函数微分概念1 背景知识与引入方法二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面微分就是将函数“局部线性化” ，或者将曲面“局部展平”理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法2 该知识点讲解方法讲解方法一：设二元函数 在 的某个邻域中有定义.当自变量有改变量),(yxf),(0yP时,如果存在一个以 为自变量的线性函数 ,使得函数)(xr x)(yxl改变量 ),(),() 000 yxfyff 可

2、以表示成(1) ,xlf其中 满足(2) 0)(lim20yxyx则称 在点 可微.其中线性函数 称为 在点),(yxf),(0yxP,l),(yxf的微分(即全微分),记作 或 .0P),(df),(0yxf讲解方法二：设二元函数 在 的某个邻域中有定义.当自变量有改变量),(yxf),(0yP时,如果存在常数 ,使得函数改变量)(yxba),(),0yxfxff 可以表示成 (1) ybxaf其中 满足(2) 0)(lim20yxyx则称 在点 可微.其中),(yxf),(0yxPba是变量 的线性函数,这个线性函数称为 在点 的微分(即),(yxf),0yxP全微分),记作 或 .)(d

3、0yxf),(0yxf注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.讲解方法三如果存在常数 ，使得函数 在 的改变量ba, ),(yxf),(0yP可以表示成),(),( 00xfyxfxba21其中 是 的函数，满足21, lim10yx0liyx则称 在 可微，并且称 是 在 的全),(yxf),(0Pba ),(yxf),

4、(0yP微分.注释：讲解方法 3 与讲解方法 2 的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.( 见下面相关知识中的定理 1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即 ）.)()(2yxo具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解（参考1）讲解方法四设二元函数 在点 存在两个偏导数 .令),(yxf),(0yyfx,),(,00yxf )且如果当 时，有0,yx 0)(2yx则称 在点 可微，并且称),(yxf),(0yyffxyx),(),(00为 在点 的微分.),(f),(0当 在点

5、 可微时，用 表示 在点 的微分，yxy),(d0f),(f),(0yx即 yfxfxf xy),(),(0 00),(d注释：这个定义的优点是直接点出微分表达式 ，并且概yfxfy),(),(00念本身就明确了函数可微性与偏导数存在性之间的关系.因此概念比较直观、易懂.虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.另外，用这种方式定义微分概念，对于讨论微分学的若干概念问题，以及定理证明都会带来方便.(参考3)例题例题： 求函数 在任意点 的全微分 和点 处的yxf),(),(yx),(dyxf)1,(全微分 .)1,(df解 当 时, , ,并且两个偏导数都连续,所以0yyxf2

6、xf2d),(dyxfdxff 当 时,)1(,yx yxyfxff d)1,(d),(),(d例题：讨论函数0,0,),( 22yxyxyf的在原点 是否存在偏导数，是否可微.)0,(解：当 时，,yx.23)(),(22yxyxyxf .23)(),(22yxyxyxf 当 时，注意到 ，所以0,),( 0),),0(ff，,)(lim,0xfffxx 0),(,(lim, yffyy因此 处处存在偏导数.),(yf下面证明函数 在点 处不可微.),(yf)0,(下面证明 在点 处不可微x反证：如果 在点 处可微，则 在点 的微分就是),(yf),(),(yxf)0,()0,(0d fxy

7、x又根据微分定义，当 时，,)()0,d22yxofyxf )(2yxo但是，最后这个等式不成立，因为当 时， 与0, 2相比较不是高阶无穷小量.例如当 时，有2yx yxyx且,21122xyx于是据微分定义推出， 在点 不可微.),(yxf)0,(例 3：两个电阻 和 并联以后的电阻为 .假设 的标定值为1R2 21R1300ohms,相对误差不超过 2； 的标定值为 500ohms，相对误差不超过2R3.试确定并联电阻 的最大相对误差.解：根据题意，有，0.|103.|2由于，21)(R21)(R所以 212)(dR于是 的相对误差近似地等于R 212121212)( RRR因此近似地得

8、到 | 2121R0375.530.5303 难点问题及解决方法多元函数微分概念是一个教学难点，主要原因是概念比较抽象，同时这个记号也不容易理解。)()(2yxo解决方法：如果用讲解方法 1 进行教学，可以借助于简单直观的例子引入概念，并且用近似计算的例题解释微分的本质:引例：设有一个矩形，其长、宽分别为 .由于环境温度变化, bab它的长和宽分别改变了 ，ba,问其面积改变了多少？若记面积改变量为 .则 A(图 3-1).baA这个问题很简单，但答案却很有意义. aa它说明面积改变量 可以分成两部分，一部分是自变量 图 1A改变量 的线性函数 ;而其余的部分则满足下面的条件：),(baba0

9、lim20b这个现象启示人们考虑这样的问题:当二元函数 的自变量 在点),(yxf),(yx有改变量 时,由此产生的函数改变量),(0yx)(yx能否表示成下述形式:,0ffybxaf其中 是与 无关的常数, 是与 有关的量,当ba,)(yx)(时,满足0x.研究这个问题就导致函数微分概念的建立.)(lim20yyx解决方法：建议采用讲解方法 4这种定义方法比较直观。直接给出微分表达式，定义本身就明确了微分与偏导数的关系。可以使微分学该之间的关系简单明了，并且有助于简化一些定理的推导过程。虽然在抽象程度上有些折扣，但是在科学性方面并没有任何损失.常见错误分析1. 函数在一点 的微分是自变量改变

10、量 的函数，学生往往理),(0yx ),(yx解不清楚这一点.特别是对于在任意点 的微分 ，常常混淆),(df和 的区别。),(yx),2.4 与其他知识点的关联（）多元函数的线性近似以二元函数为例，令 ),(),( 00yxfyxf )yfxf且当 时，有 0)(2yx所以，如果 在点 不全等于零，则当 时，有yfx,),(0 0,yx0xff于是若用微分 作为函数改变量yfxf),(),( 00fyxf的近似值，则当 很小时，相对误差 也非常小, xff（）曲面的切平面二元函数的微分有明显的几何意义假设函数 在点 可微，则曲),(yxf),(0y面 在点 的切平面方程是),(:yxfzS)

11、,(,(00yxfzy), ),(),(0 00xf yxy 法向量为 )1,()(00yxyxff（）证明微分概念 2 与微分概念 4 互相等价(概念 1 与概念 3 等价).定理： 函数 在 可微的充分必要条件是：可以将函数),(f),0在点 的改变量表示为),(yxf),(0y),(),( 00yxfyxf(1) f( yxy21,其中 是 的函数，满足21, 0lim,li210yxyx证明：必要性：如果 在 可微，则当 时，),(f), ,y),(00xfx(2) yf),( 其中 满足 .)(lim20xy当 时， 和 是同阶无穷小量，,xy|yx所以(3)0|li0xy将 写成(

12、4)yxyx|)sgn(|)sgn(其中 sgn 表示符号函数 )令(5)|)sgn(,|)sgn(21 yxyx则由(5)式可以推出 0lim,li0yxyx将(5)和(4)式代入(2) 式，就得到(1) 式.充分性：假定(1)式成立。因为，2)(|yx2)(|yx所以有 2121|)| 于是当 时， 。根据可微性定义，由此可0,yx 0()yx以推出函数 在 可微.定理证毕.),(yxf),0（） 函数可微的充分条件定理 2: 如果函数 的两个偏导数 都在 处连续，则),(yxf yfx,),(0在 处可微，并且),(yxf),0 yfxfyxf d),(d),(,(d00(5） 一元函数

13、的微分一元函数的微分 的概念有三种等价的引入方式。)(0f1设函数 在点 的某个邻域中有定义.如果存在一个常数 ，使得当)xf a时，函数改变量 可以表示为 0x )(00xfxffa)其中 是 的函数，满足lim0x则称 在点 可微， 的线性函数 称为函数 在点 的微分，记)(xf0xa)(xf0作 .其中常数 称为 在点 的微分系数.da)(f02设 存在， 的线性函数 称为函数 在点 的微分。fxf)(f3如果 在点 的函数改变量可以表示为)(x0 xffxf )(00其中 是 的函数，满足 .则称 在点 可微，并称 称lim0)(xxf)(0为函数 在点 的微分.)(xf05 扩展知识

14、(1) 多元函数的导数。对于多元函数 ，与一元函数微分概念),(21nxfy对应的是多元函数的微分概念xfxfd)()(d00 nxffPf d21与一元函数的导数对应的概念是由偏导数组成的向量： ),(21nxffx这个向量在多元函数的运算中所起的作用相当于一元函数的导数 在一)(0xf元函数微分法中所起的作用.例如函数微分表达式一元函数微分表达式： ；xfxfd)()(d00多元函数的微分表达式： nxffPf d21nxfxfd),(2121复合函数微分法的链式法则一元函数情形:若 ，则)(),(xuyxuyd多元函数情形：若 ， ，则),(21muy ),21)(,(21mkxnk（ ）ixymkikiiimxuyxuuyu1221),( n,21(2) 映射的微分令 ， ， 假设T21),(myyT21),(nxxT21),(nxx是定义于区域 、取值于 的映射，)(xfynDRm),(0210nxx