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1、池州学院本科毕业设计（论文）题目：关于构造法在解决数学问题中的应用 学生姓名：姚江旋 学号： 090311125 系（部）： 数学计算机科学系 专业： 数学与应用数学入学时间： 2009 年 10 月导师姓名： 李海燕 职称/学位： 讲师/ 硕士 导师所在单位： 池州学院 关于构造法在解决数学问题中的应用摘 要构造法是数学解题中常用的一种方法，其构造出来的数学式灵活多样，有构造函数、构造方程、构造向量等。本文根据问题不同而选择相应方法作了示范，阐述了构造法在解决数学问题中的应用，尤其在解决繁难的数学问题时，如能根据具体问题恰当运用构造法，那么就会化难为易、化繁为简，从而达到最简洁快速的解决问题
2、。关键词：构造; 函数; 解题; 应用Constructor method in solving mathematical problemsAbstractConstructor method is a method commonly used in mathematical problem solving mathematical formula constructed flexible, constructors, structural equation, constructed vector. This article on how to select the appropriate m
3、ethod depending on the issues made a demonstration of the constructor method in solving math problems, especially in addressing the troublesome mathematical problems, such as the specific issues the appropriate use of the constructor method, then it will anything easy to simplify, so as to achieve t
4、he most simple and fast solution to the problem.Keywords: construction; function; solving problems; application目录第一章 前 言 .1第二章 构造法在中学解题中的应用 .22.1 构造命题 .22.1.1 构造引理 .22.1.2 构造辅助命题法 .32.2 构造函数法 .42.3 构造方程法 .52.4 构造数列法 .62.5 构造复数法 .72.5.1 构造复数不等式 .72.5.2 构造复数证三角等式 .72.6 构造向量法 .8第三章 构造法在高等数学解题中的应用 .83.1
5、 构造函数法 .83.1.1 在不等式证明中的应用 .83.1.2 在方程根的存在性和唯一性问题中的应用 .93.2 构造积分法 .103.3 构造伴随矩阵法 .113.4 构造级数法 .12第四章 总 结 .13主要参考文献： .13致 谢 .140关于构造法在解决数学问题中的应用第一章 前 言 从数学产生那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，直到把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的。直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的。”这就是构造主义。近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三
6、个阶段：一是直觉数学阶段。直觉派的先驱者是 19 世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。二是算法数学阶段。算法数学的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不像直觉数学那样去挑战传统的证明规则。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。三是现代构造数学阶段。1967 年，比肖泊书的出版宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。实际上，构造法从数学产生之时就已经存在，在古代数学的建立与发展中起着重要的作用。以西方的几何原本和中国的九章算术为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处。我国
7、古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，因此形成了丰富的术，这些术就是一个个构造性的机械式的计算程序，他们对推动古代数学的发展起到了重要的作用。数学家吴文俊曾指出， 九章算术中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响。构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法，按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点观察、分析、
8、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的数学对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问1题形式）简捷地解决问题的方法。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维，其本质特征是构造，其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想、实施正确的转化。这就要就主体具备良好的知识结构和发散性的直觉能力。历史上不少著名的数学家都采用构造法成功地解决数学上的难题，如欧几里得在几何原本中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的
9、范例。现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。本文从构造函数、构造方程、构造复数、构造向量等多种构造方法出发，谈谈构造法在数学解题中运用。相信本课题不仅在理论上丰富了和发展构造法在数学领域中的应用，而且对社会的发展也将产生一定的影响。第二章 构造法在中学解题中的应用2.1 构造命题当论证某些命题感到没有直接依据或比较困难时，可以通过构造其有关引理或辅助命题的办法，以求问题的解决。22.1.1 构造引理例 1：设椭圆方程为
10、 ，试求它的中心轨迹关于点 M（-22()()19xtyt1,1）对称图形的轨迹方程。引理：已知曲线方程 ，则它关于点 M(a,b)对称的曲线方程),(yxf。0)2,(ybxaf解：设椭圆中心为（x,y),根据题意，有t2y消去参数的椭圆中心轨迹方程为：2(,)40fx由引理知，它关于 M（-1,1）对称图形的轨迹方程为(,)fy即： 2()4()0xy化为： 即为所求轨迹方程。2.1.2 构造辅助命题法在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据，只要证明了这个命题时真命题，原命题就迎刃而解。这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题法。例 2：解方程 (1
11、) 235xx分析：直接去原方程的绝对值符号得(2) 2如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决。但在初等数学中没有定理可用来直接判定这两个方程是否通解。注意到方程（1）的定义域为 R，而对于任何恒有 ,于是可构造辅助命题：xR2 2(3)(5)30xx“设方程 (3) ()fx的定义域为 A,如果对于任何 ,恒有A,0)(gf3那么方程（3）与方程（4）()fx同解。 ”证明：先证（3）的解必是（4）的解，设 是（3 ）的任一解，则 1 11()fx两边平方得 11()()0fxfx)(1x再证（4）的解必是（3）的解，设 是（4）的任一解，则 2 22()fx上式可改写为 ，这表明 是方
12、 程（3）的解，命题得证。22fxx根据上述辅助命题，解例 2 中方程（1)只须解方程（2） 。解得：x=-1 或 x=7下列方程也可根据这个辅助命题求解：113;xx2537xx2.2 构造函数法在解决某些数学问题时，运用函数概念和性质构造一个适当的辅助函数，把问题转化为研究这个辅助函数性质的解题方法叫做构造函数法。函数是数学知识中心之一，方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此，方程和不等式都是函数的特殊表现形式。构造函数的前提和基础是熟悉函数的概念，牢固掌握各类初等函数性质。构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质。有些数学问题只要将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决问题；有些问题实质上与函数某个性质有关，可以归纳为研究相关的函数性质，便可构造辅助
