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1、- 6 -关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下：一 代入求值法：这种方法只适用于在 点连续的函数求极限。0x例 1、计算312limx解： ,3()1Fx上3312lix例 2、计算： 2lnlimsx 222lnl4ln:isisix解二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。例 3、2li51n解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以 ，然后取极限。于是22 2133limli55nn例 4、求 21li4x解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑 的极限。1()fx因为 21540lim31x所以 （无
2、穷小量的倒数是无穷大量。 ）21lix例 5、计算 1li 35(2)nn- 7 -解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。因为 11()(2)2kk所以 lim 35()nn111li()()232n n利用倒数法可得如下结论： 011 00 ()lim,)()mmnx nanbaxaxabb 为 自 然 数三 化积约分法：有些函数 在 处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当 时,()fx0 0x的极限存在与否与 在点 处是否有定义无关，所以常将 先作适当变形，()fx()f0x()f如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在 处有定义的新函数 ，再用代入求0
3、xgx值法。例 6、计算 31lim()x解：因为 在 处无定义，先将分式通分，化成最简分式后再求极限。)f23321112 ()li(lilim1mxxxx x例 7、 23li9x上2331lililim()6xxx上:四 因式有理化法：- 8 -这种方法实质上同化积约分法一样，如果 的表达式是一个无理式，而求极限的()fx四则运算又不能适用，可先将分子或分母有理化，再求极限。例 8、计算 381lim2x解： 在 处无定义，故先将分子、分母同乘以它们有理化因式，再取极限。()f 323 328831(1)()(4)lili221xx xx上8 8()4)()limlim1x xx 例 9
4、、计算 22li()x解：当 时，每项的极限均不存在，所以不能用差的极限运算法则，为此先设法有理化。所以， 22li(1xx2222)(1)limli 01xx xx五 公式法：运用两个重要极限： 0sin1l,lim()xxxe例 10、计算 30silimxtg3300ini(1cos):lilxxt x解 230inslmcox220sisi 1l()cox 例 11、求 lim()1xx1:li()xxe上- 9 -例 12、计算32lim(1)xx63 622li()li()lim(1)xxxx e:解 :六 变量代换法：这是在计算较复杂的函数极限时常用的技巧，通过适当的变量代换，可
5、使复杂的极限问题转化为较简单的极限问题。例 13、求 21lim()xx 22 12 1,lim()li()li(1)()1xtxttt tte 2解 :令 则 且 当 时 所 以例 14、求 1lim()2xxtg:, 1,0.2yxyyxy上100li()li()limxy yttctg所 以 02licosny七 夹挤法：此法利用极限准则即夹挤定理。例 15、计算 01limsnx0:|li|x上0lisx例 16、 22211lim( )nnn上222:1nx上 2221nnxy上上.上- 10 -2,lim1,li1nnnzyz则 lim1nx222li( )x上八 单调有界法：用单
6、调有界原理判断极限存在，再求其极限。例 17 求数列 ,(0).aaa 上解：显然，此数列是单调上升的，下面证明数列有上界 1.,1,1,kaxx上。.na由 数 学 归 纳 法 :对 任 何 自 然 数 恒 有 成 立 上1, .kkAxa因 为 有 界 单 调 数 列 必 有 极 限 设 其 极 限 为 对 等 式 成 立 414,0, lim22naAa x上例 18、设 ，数列 满足条件： ，计算 。0nx11,()nnaxNlinx解：显然对任何 ，都有 ,故 有下界，由于0nn所以1()2nnnaxxa是单调递减的，故 的极限存21 1()0nnnn nxx 所 以 nx在。设 ，
7、得1lim,()2nnnaxA上1(), lim2naAx上注：例 17 与例 18 这一类数列，应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。九 用洛必塔法则求极限：当极限为待定型时，可用洛必塔法则求之。例 19 求 201coslim()x上00in1si:llm2xx上- 11 -例 20、求 lnim()0x型解： 1liilixxx其它还有 均为待定型。这五种类型都可转化为0, 0上例 21 求 0limn()x型解： 10 00lili limli1nn nx xxn 例 22、求 2li(sec)(xtg解： 2221sicoslimll0oinxxxt例 23、求 0li()xo0
8、020 1lnlimi1limnln00:lii xxx xxee 解 0li()0x例 24、求 2li(1)xxarctg上解： 2ln()lim()ixarctgxxrcte 212ln()2limim1xxarctgarctgxee21lim()arctgxx例 25、求10ln0li()xxctg上2000 (cs)limln11ilnlim1cosi:()xxx tgxctgxtee:解- 12 -本方法可解：（1）求 （2）20coslimxtd20()limxtted十 积分法：有些极限用定积分定义计算较为简便。例 26、求 12(1)li(snisinn 110:limii)
9、limsinlisin12snnxd 解例 27、求 !lin 11012lnl110 im!12:limlili(n)nni xdeenxd 解 其 中 是 广 义 积 分例 28、求 1li(2n n101 1:lim)li ln2nndxi解 原 式例 29、求 2221lim()n22212021:li )()()(li 4()nn nndxi 解 原 式例 30、求 2 1lim( )(1)(2nnn- 13 -解：原式= 111lim( )0n nn101li 2(1)n dxi十一 利用等价无穷小求极限：例 31、利用等价无穷小数极限求430lim1(sn)2x解： 331(sin)(2x:43430lili8(s)()xx例如当 0,sitanl1arcsinrtax:时十二 利用级数收敛的必要条件求极限： ! !1! (1)! !(2):lim0()2(2)1:lililim0n nn n nnbaba a:例 3证 明证 令 ,则由正项级数的达朗贝尔判别法,级数 ,再由级数收敛的必要条件知!1()na上!(2)lim0na十三 利用泰勒公式求极限
