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1、关于平面解析几何复习中的一点思考高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故” ，更要“知新” ，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力一、把握解析几何的基本思想“几何图形代数化与代数结果几何化”是解析几何的基本思想2004 年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求学生写出解析几何的思想本质是什么，这道题目
2、引起一些争议，但命题的意图是好的，指导思想是正确的，在复习过程中要强化这种思想通过具体例子说明用代数的方法解决几何问题的优越性，以及用几何的方法解决代数问题的优越性二、构建解析几何知识的体系解析几何复习时，需要理顺解析几何的知识体系：（1）首先要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系，进而要理解曲线与方程的概念图形问题代数化是解析几何的核心，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的，那么遇见这些几何表述时就能熟练转化为代数形式来处理（2）通过对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等具体曲线的研究，不仅要理解和掌
3、握它们的一些基本性质和结论，更重要的是体会解析几何研究曲线性质的具体方法和思想（3）了解坐标系的平移，曲线的参数方程，极坐标系等等知识，体会解析几何解决问题的方法不是单一的，而是多种多样的三、剖析近年高考考点考点一 点、直线、圆的位置关系问题【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆内、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三种，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆心之间的
4、距离，再与两圆的半径之和或差比较。例(2009 年江苏卷)在平面直角坐标系 xoy中，已知圆221:(3)14Cxy和圆222:(4)54Cx.（1）若直线 l过点 ,0A，且被圆 1截得的弦长为 3，求直线 l的方程；（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 1和 2l，它们分别与圆 1和圆 2相交，且直线 1l被圆 截得的弦长与直线 2l被圆 C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。【解析】 本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。答：(1) 0y或 72480xy(2) P 在以 C1C2的中垂
5、线上，且与 C1、C 2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点 P 坐标为3(,)或5(,)。考点二 直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来求解。圆的方程有标准式、一般式两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。例 (2009 年上海卷)过圆22(1)()1Cxy：的圆心，作直线分别交 x、y正半轴于点 A、B， O被圆分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足|,SS则直线 AB 有（ ）（A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D）
6、 3 条【答案】B【解析】由已知，得： ,IVIIISS，第 II，IV 部分的面积是定值，所以，IVIS为定值，即 ,II 为定值，当直线 AB 绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选B。考点三 曲线（轨迹）方程的求法【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题代入法（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。例 (2009 年浙江卷)已知椭圆 1C：21(0)yxab的右顶点为 (1,0)A，过 1C的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆 1的方程；（II）设点 P在抛物线
7、 2C：2()yxhR上， 2C在点 P处的切线与 1C交于点 ,MN当线段 A的中点与 MN的中点的横坐标相等时，求 h的最小值解析：（I）由题意得21,ba所求的椭圆方程为214yx， （II）不妨设212(,)(,)(,),xyNPth则抛物线 2C在点 P 处的切线斜率为2xty，直线 MN 的方程为 x，将上式代入椭圆 1的方程中，得24()40h，即 2224()()40ttxth，因为直线MN 与椭圆 1C有两个不同的交点，所以有216，设线段 MN 的中点的横坐标是 3x，则2()1xt， 设线段 PA 的中点的By E A xOC横坐标是 4x，则12t，由题意得 34x，即
8、有2(1)0tht，其中的22(1)0,h或 h；当 3时有2,40，因此不等式4216()tt不成立；因此 1h，当 时代入方程2()0th得 1，将 ,ht代入不等式421()40tt成立，因此 的最小值为 1例 (2009 年海南，宁夏卷)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.（）求椭圆 C 的方程；（）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，OPM=，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 考点四 有关圆锥曲线的定义的问题【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常
9、考查的内容，除了在大题中考查轨迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现例 (2009 年广东卷) 巳知椭圆 G的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，离心率为32，且 G上一点到 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G的方程为 【解析】 23e， 1a， 6， 3b，则所求椭圆方程为19362yx.例 (2009 年北京卷)椭圆219xy的焦点为 12,F，点 P在椭圆上，若1|4PF，则 2| ； 12P的小大为 . 【答案】 ,10【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.考点五 圆锥曲线的几何性质【内容解读】圆锥曲线的几何
10、性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和渐近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，离心率公式一样：e ac，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，）之间，抛物线的离心率为 1例 (2009 年浙江卷)过双曲线2(0,)xyab的右顶点 A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ,BC若12B，则双曲线的离心率是 ( )A 2 B 3 C 5 D 10答案：C 【解析】对于 ,0a，则直线方程为 0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，则22(,),bbAB，因22,4,5Aae例(2009 年天津卷)
11、 以知椭圆21(0)xyab的两个焦点分别为12(,0)(,0Fcc和，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与 ,AB两点，且12/ABF。1）求椭圆的离心率；2）求直线 AB 的斜率；3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 2FB上有一点 (,)0Hmn在 1AF的外接圆上，求nm的值【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方
12、程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。例(2009 年湖北卷)已知双曲线21xy的准线过椭圆214xyb的焦点，则直线 2ykx与椭圆至多有一个交点的充要条件是A. 1,KB. 1,2KC. 2,KD. 2,【答案】A【解析】易得准线方程是 12cax所以 22241cab 即 23b所以方程是 1342yx联立 y
13、kx可得 2 3+(k6)0xx由 可解得 A例(2009 年江苏卷)在平面直角坐标系 oy中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2） ，其焦点 F 在 轴上。（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；（3）设过点 (,0)Mm的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E两点间的距离为 f，求 f关于 的表达式。【解析】本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。四、掌握研究解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查
14、，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法所以在复习时应做到:1牢固掌握圆锥曲线定义 圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质属性，是构建有关知识网络的基础。同时，定义直接用于解题常常使一些看似很难解决的问题变得简单。 例点 F 是椭圆 的左焦点，点 在椭圆内，点 M 在椭圆126yx)3,2(P上，求使|PM|+2|MF|取最小值的点 M 的坐标。 解析：直接应用距离公式难以奏效，而根据椭圆第二定义，将|MF|用点 M 到左准线的距离来表示，问题容易得解。 2重
15、视基础知识，基本题型的复习 （1）注意课本典型例题、习题的延伸 教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通。如教材中题:“过抛物线 y2=2px 焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y1,y2，求证 y1y2=-p2。 ”给出的结论是关于抛物线焦点弦的一条重要性质，而其证明方法也是解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题的最基本最典型的方法。 例.设抛物线 y2=2px (p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，C 在抛物线上，且 BC/x 轴。证明直线 AC 经过原点 O。 解析：设 A(x1,y1)，B(x 2,y2)，由 BC/x 轴，且点 C 在准线 x=
