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1、公务员行测考试数量关系：余数同余问题济南分校 刘桂森在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。本文针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类：一、代入排除类型【例 1】 （江西 2009）学生在操场上列队做操，只知人数在 90间。如果排成 3 排则不多不少;排成 5 排则少 2 人;排成 7 排则少 4 人;则学生人数是多少?( ) 析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项 108 满足条件，选择 D。二、余数关系式和恒等式的应用余数的关系
2、式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数除数=商余数（0余数除数），但是在这里需要强调两点：1、余数是有范围的（0余数除数），这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数商余数。【例 2】两个整数相除，商是 5，余数是 11，被除数、除数、商及余数的和是 99，求被除数是多少？析】余数是 11，因此，根据余数的范围（0余数除数），我们能够确定除数11。除数为整数，所以除数12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数商余数12商余数=12511=71，因此被除数最小为 71，答案选择 D 选
3、项。【例 3】有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A 除以 余 5，A 除以 C 商是 6 余 6，A 除以 D 商是 7 余 7。那么，这四个自然数的和是？A. 216 B. 108 C. 314 D. 348【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数商余数，有 A=B5+5= (B+1)5。由于 A、B 均是自然数，于是 A 可以被 5 整除，同理，A 还可以被6、7 整除，因此，A 可以表示为 5、6、7 的公倍数，即 210n。由于A、B、C、D 的和不超过 400，所以 A 只能等于 210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到 A+B+C+D=314
4、，选 C。像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。三、同余问题这类问题在考试中比较常见，主要是从除数与余数的关系入手，来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀，如下表所示：同余问题核心口诀“最小公倍数作周期，余同取余，和同加和，差同减差”余同取余：“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，这个数是 60n+1 和同加和：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，这个数是 60n+7 差同减差：“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5”，这个数是 60说明：
5、在这里，n 的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。【例 4】一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，请问这个数如何表示？【解析】设这个数为 A，则 A 除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1，那么A1 就可以被 4、5、6 整除。4、5、6 的最小公倍数为 60，所以 A1 就可以表示为 60n，因此，A=60n+1。【例 5】一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，请问这个数如何表示？【解析】设这个数为 A，如果 A 除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这三个
6、条件的数可以表示为：A= 60n+7。【例 6】一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，请问这个数如何表示？【解析】除以除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3，我们知道除数与对应余数的差相同，对应的为“差同减差”，满足这三个条件的数可以表示为：60n1。根据以上三道例题的结论，我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如：【例 7】一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有多少个？A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个解析：除以 5 余 2，除以 4 余 3，我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个条件的数可以表示为，P=20n+7，表示除以 20余 7；再配上之前的条件除以 9 余 7，对应的为“余同取余”，我们得到这个数可以表示为 180n+7，由于这个数为三位数，所以 n 可以取 1、2、3、4、5，所以共 5 个。由此可以看出，针对行测考试中出现的此类问题，只要大家掌握余数的基本点，包括关系式和恒等式等，牢记同余问题的解决口诀，清楚对公倍数（或最小公倍数）的求法，再遇到类似的余数同余问题，就能轻松、快速地解决掉。
