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1、1988 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一 （本题满分 45 分）本题共有 15 个小题，每小题都给出代号为A，B，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内 奎 屯王 新 敞新 疆每一个小题选对得 3 分;不选或选错一律得 0 分 奎 屯王 新 敞新 疆（1） 的值等于 （ B ）2i（A）1 （B）-1 （C）i (D)-i（2）设圆 M 的方程为(x-3) 2+(y-2)2=2,直线 L 的方程为 x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1） ，那么 （ C ）（A）点 P 在直线 L 上，但不在圆 M 上 奎 屯王 新 敞新
2、疆（B）点 P 在圆 M 上，但不在直线 L 上 奎 屯王 新 敞新 疆（C）点 P 既在圆 M 上，又在直线 L 上 奎 屯王 新 敞新 疆（D）点 P 既不在直线 L 上，也不在圆 M 上 奎 屯王 新 敞新 疆（3）集合1，2，3的子集共有 （ B ）（A）7 个 （B）8 个 （C）6 个 （D）5 个（4）已知双曲线方程 ，那么它的焦距是 （ A 15y20x）（A）10 （B）5 （C） （D）15152（5）在 的展开式中，x 6的系数是 （ D ）10)3(（A） （B） （C） （D）61027410276109410C9（6）函数 的最小正周期是 （ A ）sincoy4B
3、（A） （B） （C） （D）224（7）方程 的解集是 （ C ）03xcos4cs2（A） （B）Zk,6)1(kx| Zk,3)1(kx|（C） （D）2|2|（8）极坐标方程 所表示的曲线是 （ D ）cos234（A）圆 （B）双曲线右支 （C）抛物线 （D）椭圆（9）如图，正四棱台中， 所在的直线与 所在的直线是DA （A）相交直线 （ C ）（B）平行直线（C）不互相垂直的异面直线（D）互相垂直的异面直线（10） 的值等于 ( D ） )3arctg51rt(g（A）4 （B） （C） （D）821（11）设命题甲：ABC 的一个内角为 600 奎 屯王 新 敞新 疆命题乙：AB
4、C 的三内角的度数成等差数列数列 奎 屯王 新 敞新 疆那么（ C ）（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件 奎 屯王 新 敞新 疆（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件 奎 屯王 新 敞新 疆（C）甲是乙的充要条件 奎 屯王 新 敞新 疆（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 奎 屯王 新 敞新 疆（12）在复平面内，若复数 z 满足 ，则 z 所对应的点 Z|iz|1|的集合构成的图形是 （ B ）D C A B （A）圆 （B）直线 （C）椭圆 （D）双曲线（13）如果曲线 x2-y2-2x-2y-1=0 经过平移坐标轴后的新方程为，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D
5、）1yx2（A） （1，1） （B） （-1，-1） （C） （-1，1） （D） （1，-1）（14）假设在 200 件产品中有 3 件次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有 （ B ）（A） 种 （B） 种3197C2197319723C（C） 种 （D） 种520 4520（15）已知二面角 的平面角是锐角，C 是平面 内一点（它A不在棱 AB 上） ，点 D 是点 C 在面 上的射影，点 E 是棱 AB 上满足CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ）（A）CEBDEB （B）CEB=DEB（C）CEB1，并且 a1=b(b0）求an.alimn876321n答1
6、三 （本题满分 10 分）已知 求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆,atgxx3cosin解： xcos2xcos2ini2i3cosin四 （)a(2)3tg()(etgxcos)1(tg)x1i4si 2 本题满分 10 分）如图，正三棱锥 S-ABC 的侧面是边长为 a 的正三角形，D 是 SA的中点，E 是 BC 的中点，求SDE绕直线 SE 旋转一周所得的旋转体的体积 奎 屯王 新 敞新 疆S D F A C E B 解：连结 AE，因为SDE 和ABC 都是边长为 a 的正三角形，并且SE 和 AE 分别是它们的中线，所以 SE=AE，从而SDE 为等腰三角形，由于 D 是 SA 的
7、中点，所以 EDSA 奎 屯王 新 敞新 疆作 DFSE，交 SE 于点 F 奎 屯王 新 敞新 疆考虑直角SDE 的面积，得到 所以，,DES21FE .a623aDF,a2)(a43SDE ,23)(B,.a21F22 2 所 以易 知所求的旋转体的体积是以 DF 为底面半径，分别以 SF 和 EF 为高的两个圆锥的体积的和，即五.a362a31SE)a6(31EF)a6(31SF)a6(31 222 （本题满分 11 分）设 的大小，并证明你的结论 奎 屯王 新 敞新 疆21tlogtl21,0ta, aa与比 较解：当 t0时 ， 由 重 要 不 等 式 可 得 ， 当 且 仅 当 t
8、=1时 取 “=”号t.ltl,tlog2l,1 aaaa 即时 tlog21tlog,tl21tlogxy,a .tltl,tltl,0.tt aaa aaa即所 以 是 增 函 数时当 即所 以 是 减 函 数时当六 （本题满分 12 分）本题共 2 小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 8 分.给定实数 ).a1x,R(1axy,1a,0且设 函 数且证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴;（2）这个函数的图象关于直线 y=x 成轴对称图形 奎 屯王 新 敞新 疆解：（1）设 M1（x 1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的
9、点，则 x1x 2，且 .0y,x,1a ,)1ax()1a()( )1ax()1ay222 2212112 且从而直线 M1M2的斜率 因此，直线 M1M2不平行于 x 轴 奎 屯王 新 敞新 疆,k12（2）设点 P 是这个函数图象上任意一点，则)y,x( ,1)1(,01 )2(,1)()(),(, xaayya yx xyxPx得代 入则假 如 即式 得由的 坐 标 为 的 对 称 点关 于 直 线易 知 点且 ,与 已 知 矛 盾由 此 得即 x（成 轴 对 称 图 形 线这 个 函 数 的 图 象 关 于 直因 此在 已 知 函 数 的 图 象 上这 说 明 点 式 得于 是 由
10、xyxyPyaa ,),( .12.01注：对（1）也可用反证法 奎 屯王 新 敞新 疆或考察平行 x 轴的直线 y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况 奎 屯王 新 敞新 疆由其无交点或恰有一交点，从而得证 奎 屯王 新 敞新 疆对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于 y=x 对称 奎 屯王 新 敞新 疆）七 （本题满分 12 分）如图，直线 L 的方程为 ，其中 p0;椭圆的中心为2xD ，焦点在 x 轴上，长半轴长为 2，短半轴长为 1，它的)0,2p(一个顶点为 A 奎 屯王 新 敞新 疆问 p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不),(同的点，它们中每一个
11、点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离 奎 屯王 新 敞新 疆解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程： ,1y4)2p(x2又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程 y2=2px,从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：)2(.px2y1,y4)(2将（2）式代入（1）式，得 )3(.0p24x)p7(,822即所以原方程组有 4 个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根 奎 屯王 新 敞新 疆而这又等价于Y L O A D X 310,0.47,02,0)2()( pppp得 到解 此 不 等 式 组的 条 件 下在所以，所求的 p 的取值范围为 .
