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1、圆的复习 一、知识考点:1.圆的概念(圆心、半径、弦、弧),垂径定理对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理) 问题.2.弧、弦、圆心角、圆周角的关系,直径上的圆周角四量之间的等量关系,也是在中考中常考察的内容.3.直线与圆的位置关系,切线的判断和性质共有三种位置关系,其中相切的情况常在大题中考察,尤其是切线的证明.4.切线的长,切线长定理当题目中出现过圆外一点向圆引两条切线时,常考察切线长定理.5.两圆的位置关系要求可根据两圆半径 r1、r 2(r1r 2)及圆心距 d 来判断两圆位置关系 .6.内心、外心、内切圆、外接圆要掌握其作图方法及特征.7.正
2、多边形(中心、中心角、边心距)会运算正多边形半径、边长、边心距,特别是正三、四、六边形.8.弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积要熟练掌握计算公式(可画示意图帮助理解).二、典型例题:例 1.已知两圆的半径分别为 1 和 4,圆心距为 3,则两圆的位置关系是( )A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切解析:若两圆半径分别为 r1,r 2(r1r 2),圆心距为 d,则本题中 r2-r1=4-1=3=d选择 D.例 2.如图,现有一圆心角为 90,半径为 8cm 的扇形纸片,用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( )A. 4cm B. 3cm C. 2cm
3、D. 1cm解析:扇形纸片的弧长为 围成圆锥的底面周长为 两者相等,即 选择 C.例 3.如图,在ABC 中,C=60,以 AB 为直径的半圆 O 分别交 AC、BC 于点 D、E,已知O 的半径为 (1)求证:CDECBA;(2)求 DE 的长 .分析:要证明CDECBA,我们可以看到,在这两个三角形中,已经存在一个公共角DCE=ACB ,因此只要证明两三角形中两组对应边(夹公共角的 )成比例或另一组角相等即可,题目中边的条件较少,因而我们考虑证明角相等.但是人教版教材中删去了圆内接四边形的相关定理,不能使用圆内接四边形的外角等于内对角这一定理,于是我们也无法直接使用CDE=B 这一条件,那
4、么我们回到证明这一定理的基本方法,如通过连结线段证明含公共角的另一对三角形相似,进而提供证明CDECBA 相似的条件.用心爱心专心证明(1)连结 AE,BD则CAE=CBD又C=CCAECBD即 CBCE=CACD又C=CCDECBA(2)由(1)得 AB 为O 的直径,AEB=AEC=90在 RtAEC 中,C=60,CAE=30.例 4.如图,O 的直径 AB=6cm,D 为O 上一点,BAD=30 ,过点 D 的切线交 AB 的延长线于点 C.求:(1)ADC 的度数;(2)AC 的长.分析:出现切点,我们常连结其与圆心.解:(1)连结 ODOA=ODODA=A=30又CD 切O 于 D
5、ODC=90ADC=ODA+ODC=30+90=120(2)在 RtODC 中COD=A+ODA=60AC=AO+OC=3+6=9(cm).例 5. 如图,PA、PB 是O 的两条切线,切点分别为 A、B ,若直径 AC=12cm,P=60 ,求弦 AB 的长.分析:过O 外一点 P 有两条切线 PA、PB,因此会考虑切线长定理.解:连结 AB、OPPA、PB 是O 两条切线PA=PB, 又APB=60APB 为正三角形,APO=30AB=AP在 RtAPO 中,.例 6. 如图,在ABC 中,BC=4,以点 A 为圆心,2 为半径的A 与 BC 相切于点 D,交AB 于 E,交 AC 于 F
6、,点 P 是 A 上的一点,且EPF=40,则图中阴影部分的面积是多少?分析:计算阴影部分面积一般是采用割补法,将阴影部分面积转化为基本图形(可算的).解:EAF=2EPF=80用心爱心专心连结 ADBC 切A 于 D 于 D.例 7. 如图,在ABC 的外接圆 O 中,D 是 的中点, AD 交 BC 于点 E,连结 BD.(1)列出图中所有相似三角形;(2)连结 DC,若在 任取一点 K(点 A、B、C 除外),连结 CK、DK,DK 交 BC 于点F,DC 2=DFDK 是否成立?若成立,给出证明,若不成立,举例说明.分析:(1)在圆中找相似三角形,要多关注相等的角.中点BAD=CAD又
7、CAD=CBDBAD=CAD=CBD(2)要证 DC2=DFDK须证 须证DCKDCF答案:(1)BDECAE,DBEDAB ,ABDAEC(2)DC 2=DFDK 成立 证明:D 是 的中点,DBC=DCB又DBC= DKC ,DCB=DKC又KDC=CDF ,KDCCDF,.例 8. 已知:MAN=30,O 为边 AN 上一点,以 O 为圆心,2 为半径作O,交 AN 于D、E 两点,设 AD=x,(1)如图(1)当 x 为何值时,O 与 AM 相切;(2)如图(2)当 x 为何值时,O 与 AM 相交于 B、C 两点,且BOC=90.注意:区分条件与结论.证:(1)当 AD=2 时,O
8、与 AM 相切,证明如下:过 O 作 OHAM 于点 H在 RtAOH 中O 与 AM 切于点 H.(2)当 x 为 时,满足条件,证明如下用心爱心专心过 O 作 OHAM 于点 H在 RtAOH 中, 在 RtBOH 中, OHAM 于 H,OB 2+OC2=22+22=8BC 2=OB2+OC2BOC=90.例 9.如图,AB 是O 的直径,BC 是弦,OD BC 于 E,交 于 D.(1)请写出四个不同类型的正确结论;(2)连结 CD,设 之间的关系式,并给予证明.分析:(1)是一种开放型的问题,可答类型有很多;(2)关系式在一般情况下我们优先寻找等量关系.找的办法一般是从一个量出发,用
9、其表示另一个量即可.答案:(1)不同类型的正确结论有:BE=CE; ;BED=90 ;BOD=A;ACOD;ACBC ;OE 2+BE2=OB2;S ABC =BCOE;BOD 是等腰三角形;BOEBAC;等等.(2) 的关系式主要有如下两种形式: 答: 之间的关系式为: 证明:AB 为O 的直径,A+ABC=90又四边形 ACDB 为圆内接四边形, A+ CDB=180CDB-ABC=90 ,即 答: 之间的关系式为: 证明:OD=OB,ODB=OBD又OBD=ABC+ CBD,ODB ABCODBC , .例 10. (1)如图,圆 O 中 ABCE 于 G,D 在 上,作直线 CD、ED
10、,与直线 AB 分别交于点 F、M ,连结 OC,求证:OC 2=OMOF.(2)把(1)中的“点 D 在 上”改为“点 D 在 上”,其余条件不变( 如图),试问:(1)中的结论是否成立?并说明理由.分析:(1)要证 OC2=OMOF考虑证 用心爱心专心即证OCF 与OMC 相似,因此考虑连结 CM.(2)中尽管图有了变化,但不妨仍从第(1)问中可继续使用的证法出发仿照处理.答案:(1)证明:如下图,连结 CM,OEABCE 于 G,GC=GEMC=ME ,CMA= EMA又OCM= AOC-CMA,F=CDE- DMF,DMF=EMA,OCM= F ,又COM=FOC ,OMCOCF,.(2)成立如上图,连结 MC,OEABCE 于 G,GC=GE , CDE=COB ,MC=ME,EMG=CMOFCO=COB-OFCEMG=CDE-DFMDFM= OFCEMG=FCOFCO=CMOOCFOMC.