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1、圆的复习 一、知识考点：1.圆的概念(圆心、半径、弦、弧)，垂径定理对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理) 问题.2.弧、弦、圆心角、圆周角的关系，直径上的圆周角四量之间的等量关系，也是在中考中常考察的内容.3.直线与圆的位置关系，切线的判断和性质共有三种位置关系，其中相切的情况常在大题中考察，尤其是切线的证明.4.切线的长，切线长定理当题目中出现过圆外一点向圆引两条切线时，常考察切线长定理.5.两圆的位置关系要求可根据两圆半径 r1、r 2(r1r 2)及圆心距 d 来判断两圆位置关系 .6.内心、外心、内切圆、外接圆要掌握其作图方法及特征.7.正
2、多边形(中心、中心角、边心距)会运算正多边形半径、边长、边心距，特别是正三、四、六边形.8.弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积要熟练掌握计算公式(可画示意图帮助理解).二、典型例题：例 1.已知两圆的半径分别为 1 和 4，圆心距为 3，则两圆的位置关系是( )A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切解析：若两圆半径分别为 r1，r 2(r1r 2)，圆心距为 d，则本题中 r2-r1=4-1=3=d选择 D.例 2.如图，现有一圆心角为 90，半径为 8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为( )A. 4cm B. 3cm C. 2cm
3、D. 1cm解析：扇形纸片的弧长为 围成圆锥的底面周长为 两者相等，即 选择 C.例 3.如图，在ABC 中，C=60，以 AB 为直径的半圆 O 分别交 AC、BC 于点 D、E，已知O 的半径为 (1)求证：CDECBA；(2)求 DE 的长 .分析：要证明CDECBA，我们可以看到，在这两个三角形中，已经存在一个公共角DCE=ACB ，因此只要证明两三角形中两组对应边(夹公共角的 )成比例或另一组角相等即可，题目中边的条件较少，因而我们考虑证明角相等.但是人教版教材中删去了圆内接四边形的相关定理，不能使用圆内接四边形的外角等于内对角这一定理，于是我们也无法直接使用CDE=B 这一条件，那
4、么我们回到证明这一定理的基本方法，如通过连结线段证明含公共角的另一对三角形相似，进而提供证明CDECBA 相似的条件.用心爱心专心证明(1)连结 AE，BD则CAE=CBD又C=CCAECBD即 CBCE=CACD又C=CCDECBA(2)由(1)得 AB 为O 的直径，AEB=AEC=90在 RtAEC 中，C=60，CAE=30.例 4.如图，O 的直径 AB=6cm，D 为O 上一点，BAD=30 ，过点 D 的切线交 AB 的延长线于点 C.求：(1)ADC 的度数；(2)AC 的长.分析：出现切点，我们常连结其与圆心.解：(1)连结 ODOA=ODODA=A=30又CD 切O 于 D
5、ODC=90ADC=ODA+ODC=30+90=120(2)在 RtODC 中COD=A+ODA=60AC=AO+OC=3+6=9(cm).例 5. 如图，PA、PB 是O 的两条切线，切点分别为 A、B ，若直径 AC=12cm，P=60 ，求弦 AB 的长.分析：过O 外一点 P 有两条切线 PA、PB，因此会考虑切线长定理.解：连结 AB、OPPA、PB 是O 两条切线PA=PB， 又APB=60APB 为正三角形，APO=30AB=AP在 RtAPO 中，.例 6. 如图，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交AB 于 E，交 AC 于 F
6、，点 P 是 A 上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是多少？分析：计算阴影部分面积一般是采用割补法，将阴影部分面积转化为基本图形(可算的).解：EAF=2EPF=80用心爱心专心连结 ADBC 切A 于 D 于 D.例 7. 如图，在ABC 的外接圆 O 中，D 是 的中点， AD 交 BC 于点 E，连结 BD.(1)列出图中所有相似三角形；(2)连结 DC，若在 任取一点 K(点 A、B、C 除外)，连结 CK、DK，DK 交 BC 于点F，DC 2=DFDK 是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举例说明.分析：(1)在圆中找相似三角形，要多关注相等的角.中点BAD=CAD又
7、CAD=CBDBAD=CAD=CBD(2)要证 DC2=DFDK须证 须证DCKDCF答案：(1)BDECAE，DBEDAB ，ABDAEC(2)DC 2=DFDK 成立 证明：D 是 的中点，DBC=DCB又DBC= DKC ，DCB=DKC又KDC=CDF ，KDCCDF，.例 8. 已知：MAN=30，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心，2 为半径作O，交 AN 于D、E 两点，设 AD=x，(1)如图(1)当 x 为何值时，O 与 AM 相切；(2)如图(2)当 x 为何值时，O 与 AM 相交于 B、C 两点，且BOC=90.注意：区分条件与结论.证：(1)当 AD=2 时，O
8、与 AM 相切，证明如下：过 O 作 OHAM 于点 H在 RtAOH 中O 与 AM 切于点 H.(2)当 x 为 时，满足条件，证明如下用心爱心专心过 O 作 OHAM 于点 H在 RtAOH 中， 在 RtBOH 中， OHAM 于 H，OB 2+OC2=22+22=8BC 2=OB2+OC2BOC=90.例 9.如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC 于 E，交 于 D.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结 CD，设 之间的关系式，并给予证明.分析：(1)是一种开放型的问题，可答类型有很多；(2)关系式在一般情况下我们优先寻找等量关系.找的办法一般是从一个量出发，用
9、其表示另一个量即可.答案：(1)不同类型的正确结论有：BE=CE； ；BED=90 ；BOD=A；ACOD；ACBC ；OE 2+BE2=OB2；S ABC =BCOE；BOD 是等腰三角形；BOEBAC；等等.(2) 的关系式主要有如下两种形式： 答： 之间的关系式为： 证明：AB 为O 的直径，A+ABC=90又四边形 ACDB 为圆内接四边形， A+ CDB=180CDB-ABC=90 ，即 答： 之间的关系式为： 证明：OD=OB，ODB=OBD又OBD=ABC+ CBD，ODB ABCODBC ， .例 10. (1)如图，圆 O 中 ABCE 于 G，D 在 上，作直线 CD、ED
10、，与直线 AB 分别交于点 F、M ，连结 OC，求证：OC 2=OMOF.(2)把(1)中的“点 D 在 上”改为“点 D 在 上”，其余条件不变( 如图)，试问：(1)中的结论是否成立？并说明理由.分析：(1)要证 OC2=OMOF考虑证 用心爱心专心即证OCF 与OMC 相似，因此考虑连结 CM.(2)中尽管图有了变化，但不妨仍从第(1)问中可继续使用的证法出发仿照处理.答案：(1)证明：如下图，连结 CM，OEABCE 于 G，GC=GEMC=ME ，CMA= EMA又OCM= AOC-CMA，F=CDE- DMF，DMF=EMA，OCM= F ，又COM=FOC ，OMCOCF，.(2)成立如上图，连结 MC，OEABCE 于 G，GC=GE ， CDE=COB ，MC=ME，EMG=CMOFCO=COB-OFCEMG=CDE-DFMDFM= OFCEMG=FCOFCO=CMOOCFOMC.
