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1、数学与应用数学专业近世代数教学大纲（课程编号：06162085）一、课程说明课程总学时 72 节，周学时 4， 学分 4，开课学期：71、 课程性质：近世代数课是数学与应用数学专业必修基础课，是现代数学的基本内容，是培养合格中学数学教师与高级专门人才所必备的基础理论知识，是了解现代数学精神、思想和方法最基本的知识。2、 课程教学目的与要求：通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象、严格的代数方法，进一步熟悉和掌握代数处理问题的方法；进一步提高抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系。能应用所学理论指导中学数学教学以及其它工作，培
2、养学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学基本素质，同时为今后继续学习奠定基础。3、 教学内容与学时安排：第一章 基本概念 10 课时第二章 群论 22 课时第三章 环与域 20 课时第四章 整环里的因子分解 12 课时第五章 扩域 8 课时4、 使用教材与参考书：使用教材：张禾瑞，近世代数，人民教育出版社，1978 年。参考书目：(1) 吴品三，近世代数，人民教育出版社，1979 年。(2) 刘绍学编著，近世代数基础，高等教育出版社 1999 年 10 月出版，“面向 21 世纪课程教材”，“普通高等教育九五国家级重点教材”。(3) 邓方安主编，近世代数，2001 年西安地
3、图出版社出版。(4) 丁石孙、聂灵绍编，代数学引论，2002 年北京大学出版社出版。(5) 中国大百科全书数学， 1988 年中国大百科全书科学出版社出版。(6) Shafarevich I R Basic Notions of Algebra, Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Berlin: Spring-Verlag, 1990.(7) Artin M.Algebra.Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1999.(8) Nikulin V V, Shafarevich I R. Geometries and G
4、roups. Beijing: Spring-Verlag, World Publishing Corporation, 1989. (9) T. W. Hungerford 著，冯克勤译，代数学，1998 年湖南出版社出版。(10) Nathan Jacobson. Basic Algebra (I).New York: W. H. Freeman and Company,1985.5、 课程教学重点与难点重点：群、正规子群、商群、循环群、环、理想、商环、同态基本原理等。难点：商群、理想、商环等。 6、课程教学方法与要求本课程以课堂讲授为主，学生必须完成一定的作业量。群、环、域是本课程的基本
5、内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。7、课程考核方法与要求本课程考核也以笔试为主，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时成绩占 30%，期末成绩占 70%。二、教学内容纲要第一章 基本概念1、集合与映射：集合的概念及例子，集合的交运算、并运算、差运算、余运算的概念，各种运算满足的算律；幂集合，集合的笛卡尔积概念。映射的概念及例子，映射相等的概念，单射、满射和双射的概念及判断方法；映射的象、映射合成的概念及性质；可逆映射的概念，可逆映射与双射的关系定理；置换的概念及表示，置换的运算。2、代数系统：代数系统的概念，交换律的定义及性质，结合律的
6、定义及性质，分配律的定义及性质，恒等元素及可逆元素的定义，代数系统的同态、同构定义及性质，单一同态和满同态的概念。3、等价关系及集合的分类：代数运算的概念及例子，结合法、二元关系的定义及例子；等价关系的定义及例子；集合分类的概念，等价关系及集合分类的关系定理；用等价关系进行集合分类的例子。第二章 群论1、群定义及其基本性质：半群定义及例子，半群中乘法运算基本性质，左(右) 单位元及左(右)可逆元的定义，子半群概念，群的定义，群的等价定义及群的例子，子群概念，子群的判别法，生成子群概念，子群的例子，元素周期的定义及其基本性质，有限群 与无限群的定义，群的阶的概念。2、循环群与变换群、群的同构：循
7、环群的概念及例子，群同构概念及例子，循环群的子群也是循环群的定 理，由已知群判断一个带有运算的集合为群的定理，变换群的概念，置换群及其运算。3、不变子群与商群：陪集的概念及例子，左(右)陪集的关系，子群关于群的指数的定义，Lagrange 定理，不变子群的定义及例子，商群，不变子群的判别法。4、群的同态、同态基本定理：群同态的概念，单同态、满同态的例子，群同态映射的基本性质，同态映射的核的定义，群同态基本定理，一个群与其商群的子群对应关系定理。第三章 环与域1、环的定义及基本性质：环的定义，常见环的例子，环的简单运算性质，零因子的概念，消去律，几种特殊类型的环的概念，域的四则运算性质，四元数除
8、环，子环的概念，生成子环的元素构成。 2、理想与商环：理想子环概念，主理想子环，生成理想，商环(剩余类环) 的定义及例子环同构的定义及例子，左(右) 理想概念，域上 n 阶方阵环是单环定理，有单位元的环是除环的判别定理。3、环的同态、同态基本定理：环的同态映射概念，单同态与满同态介绍，环的同态基本定理，环的三个同构定理，一个环与其商环的子环之间的对应关系定理。第四章 整环里的因子分解1、分式环：整环的分式环的构造，挖补定理，分式环的定义，整环含于域中的定理。2、素理想与极大理想：素理想的概念及例子，交换环关于素理想的商环是整环的定理，极大理想的概念及例子，有单位元的可换环关于极大理想的商环是域的定理。3、单一分解环：因子、相伴、既约元的概念，相伴分解的概念，单一分解整环的概念，有单位元的环是单一分解环的充分必要条件，主理想整环与欧氏环的概念，主理想整环是单一分解环定理。4、单一分解环上的多项式环：本原多项式的概念，高斯引理，单一分解环上的多项式环也是单一分解环的定理。第五章 域的扩张最小子域的概念及其结构，域的特征概念，添加子集到域 P 产生的子域概念，单纯代数扩域和单纯超越扩域的定义，单纯扩域的结构定理，多项式的分裂域的存在定理，有限扩域与代数扩域概念，代数闭域的存在定理介绍。
