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1、1对塔高的测量在测量长度的过程中，经常会遇到一些不好直接测量或由于物体形状特殊无法直接测量的问题，如细铜丝的直径、圆柱体的周长、硬币的直径、油筒内最长的直线、电线杆的高度等，要解决这些问题，需要同学们掌握以下几种特殊的测量方法：一、测多算少法由于测量工具精确度的限制，某些微小量，无法直接测量，在测量时，可以把若干个相同的微小量，集中起来，做为一个整体进行测量，将测出的总量除以微小量的个数，就可以得出被测量的值，这种测量方法叫做“测多算少法” 。例如：用普通的毫米刻度尺测一张纸的厚度，我们可以先用刻度尺去测 100 张同样纸的厚度。然后用这个数值除以 100，即得出一张纸的厚度。再如：测量细铜丝
2、的直径，可以把细铜丝在铅笔上紧密排绕成线圈，用刻度尺测出线圈的长度，并数出圈数，然后用线圈的长度除以圈数，即得细铜丝的直径。二、量小求大法由于被测量物体的长度远远超过了刻度尺的最大测量值，不便于用刻度尺测量，可先选取一个小物体或一小部分，用刻度尺测取其长度，然后设法测出大物体与小物体（或小部分）的倍数关系，最后根据这一倍数关系求得大物体的长度，这种测量方法被称为“量小求大法”。例如：测一大卷粗细均匀的细铜线的长度。由于细铜线长度数值非常大，远远超出了普通刻度尺的最大测量值，不便于直接测量。我们可以先截取一小段细铜线，用刻度尺测出其长度为 L，然后用天平分别测出所有细铜线的质量和截取的小段细铜线
3、质量，两者相除求得其倍数关系为 n，则这一大卷细铜线的总长度为 nL。又如：测量操场跑道的长度，普通刻度尺无能为力，可以用刻度尺设法测出自行车轮子的周长，然后骑自行车绕跑道一圈，数出轮子转过的圈数，用圈数乘以轮子的周长，即为操场跑道的长度。三、变曲为直法长度测量时，要求刻度尺应紧靠被测物体，在实际测量中，有些长度并非直线，如地图上铁路或河流的长度、圆柱体的周长等，无法直接测量，可以借助于易弯曲但弹性不大的细棉线等，与被测物体紧密接触，然后量出细棉线的长度即可，此种方法被称为“变曲为直法”。例如：要测量地图上北京到上海铁路线的长度，我们可以找一根细棉线，使其与地图上北京到上海铁路线完全重叠，并在
4、棉线的两端做上标记，拉直棉线，用刻度尺测出标记间距离即为地图上两地间的距离，借助于比例尺我们还可以求出两地间铁路线的实际长度。又如：测量圆柱体的周长，我们可以借助于纸带或细棉线，平行于圆柱体横截面紧紧围住圆柱体，在重叠处做标记，展开纸带或细棉线，用刻度尺测出标记间的距离，即为圆柱体的周长。2四、化暗为明法有些物体的长度不是明显的暴露在外面，而是隐含在物体内部或凹部，无法用刻度尺测量，我们可以借助于其它工具或方法，使该长度显露出来，这种方法被称为“化暗为明法” 。五、卡测法对于部分形状规则的物体，某些长度端点位置模糊，或不易确定，如圆柱体、乒乓球的直径，圆锥体的高等，需要借助于三角板或桌面将待测
5、物体卡住，把不可直接测量的长度转移到刻度尺上，从而直接测出该长度，这种测量方法叫做“卡测法” 。六、构造相似三角形法（数理结合法）对于某些较高的树木或建筑物等，由于不能分割或攀登，可以借助于一长度可测的木杆或人自身的高度，根据物体与影长构造出两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得树木或建筑物的高度，此种方法称为“构造相似三角形法”。塔高的测量： 塔高的测量主要是利用相似三角形的原理来证明，所以我们先看相似三角形的有关知识。相似三角形: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。（similar triangles）互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如右图中，若 BC/BC，那
6、么角 B=角 B，角 BAC=角 CAB，是对顶角，那么我们就说ABCABC相 似 三 角 形 的 性 质1.相 似 三 角 形 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 成 比 例 。 2.相 似 三 角 形 的 一 切 对 应 线 段 (对 应 高 、 对 应 中 线 、 对 应 角 平 分 线 、 外 接 圆 半 径 、内 切 圆 半 径 等 ） 的 比 等 于 相 似 比 。 3.相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于 相 似 比 。 4.相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 。 5.相 似 三 角 形 内 ， 外 切 圆 直 径 比 和 周 长 比 都 和
7、 相 似 比 相 同 ， 内 ， 外 切 圆 面 积比 是 相 似三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 推 论推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 二 ： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 三 ： 有 一 个 锐 角 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 。 3推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。 推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的
8、 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成比 例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。 推 论 六 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 第 三 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部分 成 比 例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。解 直 角 三 角 形 （ 斜 三 角 形 特 殊 情 况 ） ：勾 股 定 理 ， 只 适 用 于 直 角 三 角 形 （ 外 国 叫 “毕 达 哥 拉 斯 定 理 ”） a2+b2=c2, 其 中 a 和 b 分 别 为 直 角 三 角 形 两 直 角 边 ， c 为 斜 边 。 勾 股
9、 弦 数 是 指 一 组 能 使 勾 股 定 理 关 系 成 立 的 三 个 正 整 数 。 比 如 ： 3， 4， 5。 他 们分 别 是 3， 4 和 5 的 倍 数 。 常 见 的 勾 股 弦 数 有 ： 3， 4， 5； 6， 8， 10； 5,12,13;10,24,26;等 等 .正 弦 定 理 的 变 形 公 式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; (3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB. (4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sin
10、C=c/2R. (5)a/sinA=b/sinB=c/sinC=a+b/sinA+sinB=a+b+c/sinA+sinB+sinC.余 弦 定 理a2=b2+c2-2bcCosA b2=a2+c2-2acCosB c2=a2+b2-2abCosC CosC=(a2+b2-c2)/2ab CosB=(a2+c2-b2)/2ac CosA=(c2+b2-a2)/2bc（2004哈尔滨）如图，在测量塔高 AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的 C、D 两点，用测角仪器测得塔顶 A 的仰角分别是 30和60，已知测角仪器高 CE=1.5 米，CD=30 米，求塔高 AB （保留根号）4考点：
11、 解直角三角形的应用-仰角俯角问题专题： 应用题分析： 首先设 AF=x分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及到两个直角三角形 AGF、AEF ，应利用其公共边 AF 构造等量关系，借助 GE=CD=EF-GF=30，构造方程关系式，进而可求出答案解答： 解：设 AF=x；在 RtAGF 中，有 GF= = x，同理在 RtAEF 中，有 BF= = x结合图形可得：GE=CD=EF-GF=30即 x- x=30，解可得：x=15 ；故 AB=15 + 答：塔高 AB 为 15 + 米点评： 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并并结合图形利用三角函数解直角三角形也可以通过用解直角三角形的办法来测量塔高总结： 测量塔高可以用解直角三角形法，用影子测量（相似三角形）等等数学方法数学就应该举一反三，用我们学习过的方法来解决生活中的问题。
