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1、请双面打印/复印(节约纸张) 1主讲: 张小向http:/高等数学第六章无穷级数第一节数项级数第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数6.4 傅里叶级数6.4 傅里叶级数一. 三角函数的正交性傅里叶法 17681830 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 1.三角函数系1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx, 回忆向量的内积 = (a1, a2, , an), = (b1, b2, , bn),
2、 , = a1b1+ a2b2+ + anbn= aibi. ni=1 推广: f(x), g(x)ba= f(x), g(x)dx.第六章无穷级数2.三角函数正交性(n = 1, 2, ) (m, n = 1, 2, ) (m, n =1, 2, 且mn) (n = 1, 2, ) 1cosnxdx = 0, 1sinnxdx = 0, cosmxsinnxdx = 0, sinmxsinnxdx = 0, cosmxcosnxdx = 0, 11dx = 2, cos2nxdx = , sin2nxdx = , 6.4 傅里叶级数第六章无穷级数二. 傅里叶级数的概念在, 上可逐项积分, 则
3、有Euler-Fourier公式1.若f(x) = + (ancosnx + bnsinnx) a02 n=1 bn= f(x)sinnxdx1 an= f(x)cosnxdx1 (n = 0, 1, 2, ); (n = 1, 2, ). 6.4 傅里叶级数康熙1662-1723雍正1723-1736 乾隆1736-1796 欧拉瑞士 17071783 第六章无穷级数2.若f(x) 在, 上可积, 则bn= f(x)sinnxdx, 1 an= f(x)cosnxdx, 1 n = 0, 1, 2, n = 1, 2, 注f(x) + (ancosnx + bnsinnx). a02 n=1
4、 + (ancosnx + bnsinnx) a02 n=1 f(x)的傅里叶级数f(x)的傅里叶系数6.4 傅里叶级数请双面打印/复印(节约纸张) 2第六章无穷级数注若f(x)为, 上的奇函数, 则an= f(x)cosnxdx1 n = 0, 1, 2, = 0,因而f(x) bnsinnx. n=1 f(x)的正弦级数若f(x)为, 上的偶函数, 则bn= f(x)sinnxdx1 n = 1, 2, = 0, f(x)的余弦级数因而f(x) + ancosnx. a02 n=1 6.4 傅里叶级数乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-18
5、62 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911 狄利克雷德 18051859 三. 函数展开为傅里叶级数第六章无穷级数定理1 (Dirichlet收敛定理). 设f(x)是以2为周期的函数, 在区间, 上满足(1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)只有有限个极值点. 则f(x)的傅里叶级数在, 上收敛, 并且其和函数S(x) = + (ancosnx + bnsinnx) a02 n=1 f(x), f(x+0) + f(x0)/2, f(+0) + f(0)/2, x为f(x)的连续点; x为f(x)的间断点; x = . 6.4 傅里叶级数第六章无穷级数注
6、定理中的条件注由于f(x)和它的傅里叶级数的各项都是以2为周期的, 所以级数(1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)只有有限个极值点.称为Dirichlet条件, 简称为狄氏条件. 的收敛情况也适用于, 以外的一切点.+ (ancosnx + bnsinnx)a02 n=1 6.4 傅里叶级数例1. 设f(x)以2周期, 且将f(x)展成傅里叶级数.第六章无穷级数f(x) = , 0, 将f(x)展成傅里叶级数.f(x) = Ax/, x 0; Ax/, 0 x , a0= f(x)dx1 = xdx20 A=A, an= cosnxdx20 Ax2A(1)n1 n22= , bn= f(
7、x)sinnxdx1 = 0 f(x) = 4A2A2 n=1 cos(2n1)x(2n1)2. 第六章无穷级数O x y 26.4 傅里叶级数第六章无穷级数注: 若f(x)只在区间(, 上有定义, 并且满足狄氏条件: (1)连续或只有有限个第一类间断点; (2)只有有限个极值点,则f(x)在(, 上也可展成傅里叶级数. 令F(x) = f(x), x ; f(x2k), (2k1) x (2k+1), 6.4 傅里叶级数其中k .则F(x)是定义在上以2为周期的函数.F(x)称为f(x)的周期延拓. 第六章无穷级数例3. 将f(x) = x2( x )展成傅里叶级数. 解: 因为f(x) =
8、 x2在(, )上为偶函数, 所以bn= 0 (n = 1, 2, ), an= x2cosnxdx20 = , 223 a0= x2dx20 = x2d(sinnx) 2n0 x . = (x2sinnx | 2 xsinnxdx) 2n0 0 = . (1)n4 n2由于f(x)满足狄氏条件而且连续, 所以f(x) = x2=+ 4 cosnx, 23 n=1 (1)nn2O x y 6.4 傅里叶级数注在上式中令x = 0得令x = 得第六章无穷级数 x . f(x) = x2=+ 4 cosnx, 23 n=1 (1)nn20 = + 4 23 n=1 (1)nn2 n=1 (1)nn
9、2212 = . 2=+ 4 23 n=1 1 n2 n=1 1 n226 = . 6.4 傅里叶级数第六章无穷级数注f(x), x0,的奇延拓与偶延拓奇延拓则an= 0 (n = 0, 1, 2, ), (n = 1, 2, ). 令F(x) = f(x), 0, f(x), 0 x ; x = 0;x 0, O x y bn= F(x)sinnxdx1 = f(x)sinnxdx20 6.4 傅里叶级数请双面打印/复印(节约纸张) 4第六章无穷级数注f(x), x0,的奇延拓与偶延拓偶延拓则bn= 0 (n = 1, 2, ), (n = 0, 1, 2, ). 令F(x) = f(x),
10、 f(x), 0 x ; x 0, O x y an= F(x)cosnxdx1 = f(x)cosnxdx20 6.4 傅里叶级数例4. 将f(x) = x+1 (0 x ) 展成正弦级数. 解: 故f(x)的正弦级数为其和函数S(x) = an= 0 (n = 0, 1, 2, ), bn= (x+1)sinnxdx20 2(+2)/n, 2/n, n为奇数; n为偶数, = (+2)sinx sin2x + sin3x sin4x +, 4 2 +2 3 2 x+1, 0, x(0, ); x = 0, . 第六章无穷级数6.4 傅里叶级数例5. 将f(x) = x+1 (0 x ) 展
11、成余弦级数.解: 故f(x)的余弦级数为其和函数S(x) = f(x), 0 x . an= (x+1)cosnxdx20 4/n2, 0, n为正奇数; n为正偶数, = 第六章无穷级数a0= (x+1)dx20 = +2, + 1 (cosx + cos3x + co5x +), 1 522 1 324 6.4 傅里叶级数设以2l为周期的函数f(x)在l, l上满足狄氏条件, 则f(x) 在连续点处的傅里叶展开式为其中第六章无穷级数注周期变换f(x) = + (ancos + bnsin ). a02 n=1 nxlnxln = 0, 1, 2, n = 1, 2, an= f(x)cos
12、 dx, 1 lllnxlbn= f(x)sin dx, 1 lllnxl6.4 傅里叶级数第六章无穷级数+ (ancos + bnsin ) a02 n=1 nxlnxl在l, l上收敛, 并且其和函数S(x) = f(x), f(x+0) + f(x0)/2, f( l +0) + f(l 0)/2, x为f(x)的连续点; x为f(x)的间断点; x = l. 若f(x)在为奇函数, 则f(x) bnsin . n=1 nxl若f(x)在为偶函数, 则f(x) + ancos . n=1 nxla02 6.4 傅里叶级数例6. 将f(x) = 的傅里叶级数. 解: 根据周期性对f(x)
13、补充定义如下1, 1 x 3 1, 3 x 5展开为以4为周期1, 3 x 1; 1, 1 x 1. f(x) = an= cos dx1 0 nx2第六章无穷级数3 1 1 1 3 5 x y 1 bn= 0,= 0, a0= f(x)dx22 2 0 cos dx21 nx2= sin , 4 nn2 n = 1, 2, 故f(x)的傅里叶级数为 cos ,n=1 (2n1)x2 4 (1)n2n1 6.4 傅里叶级数请双面打印/复印(节约纸张) 5第六章无穷级数故f(x)的傅里叶级数为 cos ,n=1 (2n1)x2 4 (1)n2n1 其和函数S(x) = 1, 0, 1, x(1, 3); x = 1, 3, 5;x(3, 5). 3 1 1 1 3 5 x y 1 O 6.4 傅里叶级数例6. 将f(x) = 的傅里叶级数. 解: 令t =x3, 则f(x) 变换成F(t)在(2, 2上的Fourier系数为an= 0 (n = 0, 1, 2, ), 1, 1 x 3 1, 3 x 5展开为以4为周期1, 2 t 0 1, 0 t 2.F(t) = bn= sin dx20 nx24/n, 0, n为正奇数; n为正偶数, =
