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1、幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是： （ ， 、 ，且 ）mna0mnN1负分数指数幂的意义是： （ ， 、 ，且 ）1na1、 幂函数的图像与性质幂函数 随着 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质nyx和图像分类记忆的方法熟练掌握 ，当 的图像和性nyx12,3质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂1,函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在 上是增函数,2,3a 0, 时，幂函数图像不过原点且在 上是减函数1 任何两个幂函数最多有三个公共点 nyx奇函数 偶函数 非奇非偶函数1nO xyO xyO xy01
2、nO xyO xyO xy20nO xyO xyO xy幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0， +上，是增函数（3）0 时，幂函数的图象在区间（0 ，+ ）上是减函数.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数 y ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，x由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 0，0 1和 1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意 0 ，1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以
3、用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横” ，即 0（ 1）时图象是抛物线型； 0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型；0 1 时图象是横卧抛物线型3xOy2、 幂函数的应用例 1、 幂函数 （ 、 ，且 、 互质）的图象在第一，二象限，nmyxNmn且不经过原点，则有 （ ）、 为奇数且()An1为偶数， 为奇数，且Bmn为偶数， 为奇数，且()Cm奇数， 为偶数，且Dn1例 2、 右图为幂函数 在第一象限的图像，则yx的大小关系是 （ ） ,abcd()A()BbadcCcD解：取 ，12x由图像可知： ，12cdba，应选 abd()C例 3、 比较下列各组数的大小：（1） ， ， ；
4、 （2） ， ， ；1.53.73737375（3） ， ， 230431.解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题 在 上单调递增，且 ，13yx0,1.75 13.75（2）底数均为负数，可以将其转化为 ，33772xOy axbyc4， 337733775 在 上单调递增，且 ，yx0,52 ，即 ，33377752333777 52（3）先将指数统一，底数化成正数， ， 2233223310742331. 在 上单调递减，且 ，23yx0,.2 ，22323371.1即： 2433.0点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为
5、同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小例 4、 若 ，求实数 的取值范围11332aaa分析：若 ，xy则有三种情况 ， 或 00xyx解：根据幂函数的性质，有三种可能： 或 或 ，1032a1320a1032a5解得： 23,1,a例 3已知幂函数 23myx（ Z）的图象与 x轴、 y轴都无交点，且关于原点对称，求 的值解：幂函数 23myx（ ）的图象与 x轴、 y轴都无交点， 20， 1； Z， 2(3)Z，又函数图象关于原点对称， 2m是奇数， 0m或 2例 4、设函数
6、 f（ x） x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出 f1 （ x） f（ x） ， f1 （ x） f（ x） ， f1 （ x） f（ x）的实数 x 的范围解析：（1）由 y x3 两边同时开三次方得 x ， f1 （ x） x 3y31（2）函数 f（ x） x3 和 f1 （ x） x 的图象都经过点（ 0，0）和1（1，1） f1 （ x） f（ x）时， x1 及 0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f1 （ x） f（ x）时， x1 或 0 x1 ；f1 （ x） f（ x）时， x1 或1 x0 点评：本题在确定 x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等
7、式或方程则较为麻烦6【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） yx3yx2yx1yx2. 下列函数在 上为减函数的是（ ）,0 13yx2yx3yx2yx3. 下列幂函数中定义域为 的是（ ）0 23yx32yx23yx32yx4函数 y（ x22 x） 的定义域是（）1A x|x0 或 x2B （，0 ） （2，） C （，0） 2，D （0 ，2）5函数 y（1 x2） 的值域是（）1A 0，B （0 ，1） C （0，1 ） D 0，16函数 y 的单调递减区间为（）52xA （，1）B （，0 ） C 0，D （，）7若 a a ，则 a 的取值范围是（）21A a1B a0 C1 a0 D 1 a078函数 y 的定义域是 。32)15(x9函数 y 在第二象限内单调递增，则 m 的最大负整数是_2m10、讨论函数 y 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意52x图812已知函数 y 4215x（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间
