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1、七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风” 罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲尘缘，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-啸之记。 导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()fx在区间 1,上的最大值是 2 2已知函数 )()2xcxfy、处有极大值，则常数 c 6 ；3函数 31有极小值 1 ,极大值
2、 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yx在点 ,处的切线方程是 2yx 2若曲线 f)(在 P 点处的切线平行于直线 03，则 P 点的坐标为 （1，0） 3若曲线4yx的一条切线 l与直线 48xy垂直，则 l的方程为 430xy 4求下列直线的方程：（1）曲线 123xy在 P(-1,1)处的切线； （2）曲线 2xy过点 P(3,5)的切线；解：（1） 13|k 23 1),( /3 、 xyxyP所以切线方程为 0（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ),(0yxA，则 20x又函数的导数为xy/，所以过 ),(0yA点的切线的斜率为 0/2|xyk，又切
3、线过 ),(0yxA、P(3,5)点，所以有3520x，由联立方程组得， 5 1y、，即切点为（1，1）时，切线斜率为;201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为 102xk；所以所求的切线有两条，方程分别为 5 12 )5(102)( yxyxyy 、题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数 )1(,)(,)(23 fPxfycbxaxf 上 的 点过 曲 线 的切线方程为y=3x+1 （）若函数 )(f在 处有极值，求 )(f的表达式；（）在（）的条件下，求函数 xy在3，1上的最大值；（）若函数 )(xfy在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由 .
4、2)(,3 axxfcbaf 求 导 数 得过 )1(,)(Pxy上 点 的切线方程为： ).1(3()1 xbcyf即而过 .)(,)( yfxy的 切 线 方 程 为上故 30232cabcab即 124,)(,)( bafxfy故时 有 极 值在 由得 a=2，b=4，c=5 .53xxf （2） ).2(343)(2 xxf当;0(,;0)(, xff时当时 13).13fxfx极 大时当又 )(,4)xff在3，1上最大值是 13。 （3）y=f(x)在2，1上单调递增，又 2(bax 由知 2a+b=0。 依题意 )(xf在2，1上恒有 )xf0，即 .03 当6,1()(,16m
5、inbffb时；当 bfxfbx ,021)()(,26min时；当.6,)(,1in bfb则时综上所述，参数 b 的取值范围是 ),02已知三次函数32()fxabxc在 1和 x时取极值，且 (2)4f(1) 求函数 y的表达式；(2) 求函数 ()fx的单调区间和极值；(3) 若函数 4(0)gfm在区间 3,mn上的值域为 4,16，试求 m、 n应满足的条件解：(1) 2()3fxaxb，由题意得， 1,是 0的两个根，解得， 0,3ab再由 (2)4f可得 2c3()2fx(2) 3(1)fxx，当 1时， )0f；当 时， ()0fx；当 x时， (fx；当 1时， f；当 1
6、时， )0f函数 ()fx在区间 (,1上是增函数；在区间 ,、上是减函数；在区间 1,上是增函数函数 ()fx的极大值是 ()0f，极小值是 ()4f(3) 函数 g的图象是由 fx的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数 ()fx在区间 3,n上的值域为 4,16（ 0） 而 (320f， 420m，即 于是，函数 ()fx在区间 3,n上的值域为 20,令 ()0f得 1或 2由 ()fx的单调性知， 142n，即 36n综上所述， m、 n应满足的条件是： 4m，且 36n3设函数 ()(fxaxb（1）若 的图象与直线 580y相切，切点横坐标为，且 ()fx
7、在 1处取极值，求实数 ,ab 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 ()fx总有两个不同的极值点 解：（1）2()3().fxbx由题意 5,10，代入上式，解之得： a=1，b=1 （2）当 b=1 时， ()fx、23(1)0.xax因 ,(42a故方程有两个不同实根 2,不妨设 21x，由 )()(21 xf可判断 )(xf的符号如下：当 时 ，；当 时 ，xf；当 时 ，2)(xf因此 1x是极大值点， 2是极小值点 ，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数 总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f（x）的导函数， )(/xf的图
8、象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函数、143xy( A )xyo4-4 2 4-42-2-2xyo4-4 2 4-42-2-2 xyy4o-4 2 4-42-2-26 66 6 yx-4-2o 42243方程 、)2,0(7623x ( B )A、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10,3231)(2abxaxf（1）求函数 f的单调区间、极值.（2）若当 2,1ax时，恒有 axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）2()43fx= )，令 ()0fx得 12,3ax 列表如下：x
9、（-，a） a （a，3a） 3a （3a，+）()f- 0 + 0 -xA极小 A极大 A ()f在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减x时，34()fxba极 小， x时， ()fxb极 小 （2）22f 01，对称轴 21a， ()x在a+1，a+2上单调递减 2214()3Maxfaa，22min()4()34f a依题 |()|Mxf， min|f 即 |1|,|a解得415a，又 0 a 的取值范围是4,1)52已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2 ，不等式
10、f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由 f（ 3）24a09 ，f （1）32ab0 得 a12，b2f（x）3x2x2（3x2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表：x（， ） 2（ ，1）1 （1，）f（x） 0 0 f（x） 极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（，23）与（1， ） ，递减区间是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x1，2 ，当 x23时，f（x） 7c为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c
11、1 或 c2题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量 a=( 3,1). b=( 21,3).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 x=a+(t23) b， y=-ka+tb， x y，试求函数关系式 k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1) x y， =0 即+(t2-3) (-k+t )=0. 整理后得-k2a+t-k(t2-3) ab+ (t2-3)2=0 b=0，2=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k= 41t(t2-3)(2)讨论方程 41t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)
12、= 41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数. 于是 f(t)= 3(t2-1)= (t+1)(t-1). 令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 +F(t) 极大值 极小值 当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值= 21.当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数 f(t)= 41t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k 2或 k 时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=1或 k= 时,方程
13、f(t)k=0 有两解；(3) 当 2k 时,方程 f(t)k=0 有三解. 题型七：导数与不等式的综合1设 axfa3)(,0函 数在 ),1上是单调函数.（1）求实数 的取值范围；（2）设 0x1， )(f1，且 0)(xf，求证： 0)(xf.解：（1） ,32ay若 在 ,1上是单调递减函数，则须,3,2xay即这样的实数 a 不存在.故 )(xf在 上不可能是单调递减函数.若 )(xf在 ,1上是单调递增函数，则 a 23x，由于 32x故.从而 0a3.（2）方法 1、可知 )(f在 ,1上只能为单调增函数. 若 1 )(0xf，则()00矛 盾xfxf若 1 ),()(,)( 000xffxf 即则 矛盾，故只有 成立.方法 2：设 00)(,)(xufxf则 ， ,0303xaux两式相减得30(aux022)1)(1,u1，3,22 a又， 0ux2已知 a为实数，函数2()(fxa（1）若函数 ()f的图象上有与 轴平行的切线，求 的取值范围（2）若 0， （）求函数 ()fx
