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1、随机信号课程设计随机信号课程设计杜华贵 2014020906002 起 超 2014020906011 刘 越 2014020906009胡 谦 2014020906005 徐 涛 2014020906022 李盼辉 2014020906007一、题目：设计指定功率为 20的白噪声产生方案并实现。分析：白噪声过程是服从一定分布的随机过程，它的特点是功率谱密度为常数。平稳白噪声过程均值为零，自相关函数在 t =0处为一个冲击，功率谱函数在整个频率范围内是常数。因为其均值为零，所以方差在数值上等于功率。实际上，白噪声都是理想模型，在模拟系统中不可能存在，所以我们利用混合同余法生成随机数的方法产生一
2、个无限近似的白噪声。为了分析简单方便，易于理解，利用混合同余法产生一个服从 X U- , 的白 3 3噪声。其均值为 0，方差和功率为 1。 二、原理：产生随机数的方法是先用一定的方法产生0,1均匀分布的随机数，然后通过一个适当的变换就可以得到符合某一概率模型的随机数。常用的产生0,1均匀分布的随机数的方法有乘同余法和混合同余法。运用混合同余法产生在- , 均匀分布的随机数,通过调整种子数、乘子和随机数3 3序列的长度，可以优化使其分布更加接近 X U- , 。并通过 MATLAB编程实现其随机 3 3分布，计算并绘制出自相关函数，功率谱密度，概率密度曲线的图像。混合同余法介绍：通过同余运算生
3、成伪随机数的方法称为同余法，常用的同余法包括加同余法、乘同余法、混合同余法、除同余法。其中乘同余法和混合同余法的性能更好，有速度快、内存省、周期长、统计特性好等优点。混合同余法是 Lehmer在 1951年提出的，其迭代公式为：* MERGEFORMAT (1.1)-1mod(,)nnXACM* MERGEFORMAT (1.2)Y=/公式* MERGEFORMAT (1.1)、* MERGEFORMAT (1.2)中，mod 表示求余函数，均为正整数。其中 是模数， 是乘子， 是增量， 为初始值,CMAAC0X，即种子数，当 时，称此算法为乘同余法；若 ，则称算法为混()0X=0C合同余法，
4、当 取不为零的适当数值时，有一些优点，但优点并不突出，故常取 。=0C是在 内服从均匀分布的随机变量， 则是在 内服从均匀分布的随机变量。n(, ) nY(0, 1)式中 的取值并不是随意的，模 大小是发生器周期长短的主要标志，常见有0XACMM为素数，取 为 的原根，则周期 。试验统计表明，用以下参数进行混合同=-T随机信号课程设计余法产生的随机序列的统计特性较好：（1.3）20-1X=mod(2045+,)nn混合同余法产生的随机序列具有以下特点： 重复周期较小，由于 取值在 内，其周期 ， 受 的nXn(, )MT0,XACM值的影响，在编程实现时，浮点运算也会对 产生影响 用此方法产生
5、的随机序列，在一个周期内任意两个随机数不可能相等，这往往与实际情况不相符经 Hull和 Dobell证明，只有 满足以下一些关系才能实现周期最大化，0,XAC即 ，条件如下：=TM 与 互质（或互素，即它们的最大公约数为 1）C 设 为某一质数， 分别能被 和 4整除，且 能被 和 4整除qq()A-q产生具有最大周期的伪随机序列的混合同余法算法为：（1.4）-1mod(a+)(2c),knnXX（1.5）Y=/k由于 时， 只有一个素数因子 2，且 4也是 的因子，此时 ，=2,kMM=4+1Aa正好满足了 的第二个条件；而此时 刚好与 互质，即满足 的第一个T+1CcT条件。三、验证方案：
6、根据白噪声定义和特性：其均值为 0，功率谱密度为常数，方差等于功率，其自相关函数在 0处为一个冲击，所以我们需要验证其均值、功率谱密度和自相关函数即可验证其分布。四、流程图：随机信号课程设计图 1五、源程序：a=input(请输入所要指定的功率 a=:)%混合同余法产生（-30.5 到 30.5的均匀分布n=7340; %随机数长度x=zeros(1,n); %分配存储空间x(1)=224; %设定种子数y=zeros(1,n-1);for i=2:n %循环产生0,1均匀分布的随机数x(i)=mod(2045*x(i-1)+1,220);y(i-1)=x(i)/220;endy=y*(2*3
7、0.5)-30.5; %对0,1均匀分布变换，使其均值为零，方差为 1%通过变换生成功率为 a的白噪声X=a(1/2)*y;%功率为 a的白噪声（因为均值为 0）%时域特性曲线%figure(1)plot(X);title(时域特性曲线);xlabel(时间（t）);ylabel(幅度 A);%概率密度函数%figure(2)k1,n1=ksdensity(X);plot(n1,k1);title(概率密度函数);xlabel(X);ylabel(幅度);%自相关函数%figure(3)r1,lags=xcorr(X);plot(lags,r1);title(自相关函数特性曲线);xlabel
8、(时间（t）);ylabel(Rx(t);%功率谱密度%f1=fft(X,7340);p1=mean(f1.*conj(f1)/7340figure(4);plot(1:7340,abs(p1),bo,MarkerSize,3);title(功率谱函数);xlabel(频率 Hz);ylabel(幅度 Sx(f);m1=mean(X)%求变换后序列的均值随机信号课程设计D1=var(X)%求变换后序列的方差figure(5);%验证白噪声hist(X);title(白噪声频率统计图);%生成的白噪声的频率统计图%求其实际产生的功率P=m1*m1+D1六、实验结果：输入指定功率 a=20时的实验
9、结果如下：%时域特性曲线%figure(1)plot(X);title(时域特性曲线);xlabel(时间（t）);ylabel(幅度 A);0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000-8-6-4-202468 关关关关关关关关关t关关关A图 2%概率密度函数%figure(2)k1,n1=ksdensity(X);plot(n1,k1);title(概率密度函数);xlabel(X);ylabel(幅度);随机信号课程设计-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1000.010.020.030.040.050.060.070.08 关关关关
10、关关X关关图 3%自相关函数%figure(3)r1,lags=xcorr(X);plot(lags,r1);title(自相关函数特性曲线);xlabel(时间（t）);ylabel(Rx(t);-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000-2024681012x 104 关关关关关关关关关关关关t关Rx(t)图 4%功率谱密度%f1=fft(X,7340);p1=mean(f1.*conj(f1)/7340figure(4);plot(1:7340,abs(p1),bo,MarkerSize,3);title(功率谱函数);xlabel(频率
11、Hz);ylabel(幅度 Sx(f);随机信号课程设计0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80001313.51414.51515.5 关关关关关关关Hz关关Sx(f)图 5figure(5);%验证白噪声hist(X);title(白噪声频率统计图);%生成的白噪声的频率统计图-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80100200300400500600700800 关关关关关关关关图 6运行结果如下：随机信号课程设计图 7六、结果分析：利用混合同余法产生了 X U- , 分布，其概率密度曲线近似为 X U- , 分 3 3 3 3布的曲线，均值、方
12、差为常数。自相关函数在 t=0处有一个冲击，功率谱密度为常数。对该均值为零，方差为 1（即功率）的均匀分布进行标准化与反标准化变换，可以实现产生任意指定功率的白噪声。由以上实验结果知，指定功率 a=20时，产生的白噪声的时域分布为图 2、概率密度曲线为图 3、自相关函数图像为图 4、功率谱密度函数图像为图5。由图 7的实验结果可知，通过此种方法产生的白噪声功率为 P=20.0948，误差较小，达到实验设计目的。七、课程设计心得体会：通过本次课程设计，对白噪声的定义和统计特性有了更加深刻的认识，学习掌握了随机数产生方法混合同余法，在使用 matlab进行统计验证的过程中，让我们更加熟练的掌握了 matlab的操作，将理论学习与实际操作联系起来，很大程度上提升了我们的能力。
