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1、镜像法问题第二类：点电荷对球面的镜像,例1：半径为R0的接地导体球，在与球心相距a的一点放置电荷Q，求空间电势。,题目变形：1) 若导体不接地,1) 不接地：导体球面为等势面，电势不为0，球面上必感应出等量正、负电荷，即感应电荷总量为0。从前面的讨论可知，在离球心b处放置Q，保证球面为等势面且电势为0，但不能保证球面总电荷为0 ；为使球面总感应电荷为零，且为等势面，根据对称性可知，还必须在球心处再放一个Q=-Q，这个电荷既不破坏球面等势性，又使球面总感应电荷为0。,题目变形：2) 导体球不接地，其电势为U0,2) 变形1)中，导体球表面的电势即为最后放置的Q=-Q产生的,若现在再要求导体球的电
2、势为U0，相当于在球心处再放置一个点电荷Q， Q+ Q在球表面共同产生的电势为U0，则,题目变形：3) 导体球不接地，且带上自由电荷Q0,3）此时要求导体表面为等势面，且总电量为Q0。根据变形1)，像电荷Q、Q已保证了球面为等势面，且球面总电荷为0；此时若既要使球面总电荷为Q0，又要保持导体面为等势面，根据对称性，则Q0对应的像电荷Q= Q0也应放于球心。,两个带同号电荷的物体是否一定相互排斥？,NO！书P56,题目变形：4) 点电荷Q在导体球壳内距球心a处,注意：像电荷的电量Q大于源电荷的电量Q！,4）与例1情况相比，仅是源电荷的位置由球外搬进到球内。此时，接地球壳外无场强，场的区域在球内。
3、球内的电势等于源电荷Q和球面上的感应电荷（球壳内表面），也即像电荷Q（位于球外）产生的电势：,镜像法问题第三类：点电荷对混合界面,例1：在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部，半球的球心在导体平面上。点电荷Q位于系统的对称轴上并与平面相距为b，ba。试用电像法求空间电势（书P72、11题）,分析：利用镜像法，根据点电荷附近置一无限大接地导体平板，和点电荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个像电荷的电量和位置。,电像法与分离变量法比较：1）所求区域无自由电荷分布时，使用分离变量法2）有自由电荷分布时，分离变量法（叠加法）适用于自由电荷分布十分对称、界面单一的情况；电像法适用于自由电荷在坐标系
4、中的分布不很对称、界面组合较复杂的情况。3）少数情况下可同时适用，例如P72-8。,P72-12,第6节 电多极矩,前面所学的解决静电问题的方法（分离变量法、镜象法），着眼点都是为求解泊松方程或拉普拉斯方程；本节的着眼点在于求电势的直接表达式库仑定律的近似解。所涉及的问题是：在真空中，若激发电场的电荷全集中在一个很小区域（如原子、原子核内），而要求的又是距场源较远的场，这时可采用多极矩近似法来解决问题。,例如，原子核的电荷分布于线度为10-13cm的范围内，受此电荷分布作用的电子距核的距离为10-8cm，就满足上述条件。,具体来说，带电体系中的电荷分布于有限区域V内，在V中任取一点O为坐标原点
5、，区域V的最大线度为l，场点P 距O点为R，多极矩法讨论 Rl 情况下的场分布。,简单例子：设V 中有一点电荷Q，位于(a,0,0)点，Q 对远处产生的电势，相当于,1）将Q移动到原点，则对场点P产生一个电偶极子分布的误差B,多级矩法的物理思想：把分布在坐标原点附近一个很小区域内的电荷体系在远处产生的势，看作位于原点的点电荷Q，以及中心在原点的电偶极子P，电四极子D等所产生的势的叠加，根据所要求的精度，利用前几项之和，近似地表示该电荷体系的势。,=,+,+,将B图的电偶极子移到原点，对场点P产生一个电四极子分布的误差D,总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个电偶极子分布的误差；,移动一个电
6、偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；,类上递推，移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；可得二级近似：,小区域电荷分布 产生的电势许多实际情况中，电荷分布区域的最大线度l 远小于该区域到场点的距离r 1. 粗略近似：,2. 精确近似电多级矩展开1）幂级数展开与麦克劳林级数：,当 x0 = 0 时，上式称为麦克劳林级数,三维函数的泰勒级数,f (x)在 x = x0 处的泰勒级数,三维函数的麦克劳林级数,2） 1/r 的麦克劳林级数,此函数有两个自变量，应展开哪一个？,此式是以源点x为变量进行积分，而当场点P选定后，其坐标x固定不变。因此，1/r的麦克劳林展开应以x
7、为自变量进行：,书P12： “对r的函数而言，对x微分与对x微分仅差一负号”,3）小区域电荷体系的电势的多极矩展开：,将上式代入右式得：,令,上式是小区域电荷体系在远处激发电势的多极展开，p称为体系的电偶极矩（参见P34-5），张量D称为体系的电四极矩。,3. 电多极矩的物理意义1) 第一项：该项作为零级近似，可看作是电荷体系集中于原点上时，总电荷Q 激发的电势。2) 第二项：该项可看作是集中于原点处的体系总电偶极矩p产生的电势，第一、二项之和即电势的一级近似。,电偶极矩的电场：a)与R3成反比；b)轴对称性,若一个体系的电荷分布关于原点对称，则电偶极矩为0,3) 第三项：是集中于原点处的体系
8、总电四极矩D激发的电势，第1-3项之和即电势的二级近似。,讨论：1) 展开式表明：一个小区域内连续分布的电荷体系在远处激发 的场，等于一系列多极矩在远处激发的场的迭加。2) 若带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑电偶极矩；若 带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须 考虑电四极矩,体系总电荷为0，总电偶极矩为0，电四极矩为,线四极矩：z 轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系，此体系可看作由一对电偶极矩 + p 和- p 组成。,其中，p=Q(b-a) 是电偶极矩大小，l=b+a 是两个电偶极矩中心的间距（或 p=Q(b+a) 是电偶极矩大小，l= b-a 是两个电偶极矩中心间
9、距）。,由x轴上两对正负电荷组成只有D11分量的线电四极矩； 由y轴上两对正负电荷组成只有D22分量的线电四极矩。 由xy平面上两对正负电荷组成只有D12分量的面电四极矩； 由yz平面上两对正负电荷组成只有D23分量的面电四极矩； 由zx平面上两对正负电荷组成只有D31分量的面电四极矩。,此即沿z轴排列、以坐标原点为中心的（+，-，-，+）四个点电荷产生的电势，也即只有D33分量的线电四极矩产生的电势。,根据电偶极子电势（R为由电偶极子中心指向场点P的矢量）：,只有D33分量的线电四极矩产生的电势的证明：,线四级矩产生的电势，由一对电偶极子 +p 和 -p 产生，并注意电偶极子 +p 和 -p
10、 只有 z 方向，则有,x,y,z,电四极矩张量的分量：共有9个分量，它们之间是否彼此独立？,零迹的对称矩阵，共有9-4=5个独立参数,若电荷分布球对称，则电四极矩的各个分量等于零。因此电四极矩反映电荷分布对球对称的偏离。测量远场的电四极矩的电势，就可对电荷分布形状作出一定推论。,由此定义电四极矩的新形式,(b),电四极矩的新形式的推导：,代入(b),Q=0,Q0,理论与实验都证明，原子核的电偶极矩恒等于0。其电四极矩定义为电四极矩是原子核中电荷分布偏离球对称的量度。,球对称电荷系统的场与一个中心点电荷的场完全相当，因此从多级展开角度来讲，它既不可能产生偶极矩，也不可能产生四极矩乃至更高极矩的
11、场。,电荷体系在外电场中的能量（非电荷体系自身电场的能量）,电荷体系在外电场e中的能量，即为电荷体系在外电场中的静电势能,设电荷分布于小区域，取区域内适当点为坐标原点，把e(x)对原点进行展开，即e(x)的麦克劳林级数,表示把体系电荷集中于原点时，总电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。,第一项：,第二项：表示集中于原点的体系总电偶极矩在外场中的能量,第三项：表示集中于原点的体系电四极矩在外场中的能量,由表达式可看出，只有在非均匀外场中四极子的能量才不为零。,综上所述，小区域内连续分布的电荷在外场中的能量，等于一系列多极矩在外场中的能量之和。,*电荷体系 在外电场Ee中的受力分析：,相当于带电体系集中在原点时，总电荷在外场中受到的作用力。,参考(I.23)。上式表示集中于原点的体系电偶极矩在外场中的受力，由表达式可看出，电偶极子只在非均匀场强中受力.,体系电偶极矩在外场中的力矩,
