江苏省2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

  NMOPBAO江苏省无锡一中 2012-2013 学年高二下学期期中考试数学理试题一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1． 已知 （ 为虚数单位） ，则复数 的共轭复数是 ▲ ．ziz2．从 5 名男生和 4 名女生中选出 3 名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 ▲ 种（用数字作答） ． 3．若 ，则 ▲ ． 6318xC4．由 1、2、3、4、5 组成个位数字不是 3 的没有重复数字的五位奇数共有 ▲ 个（用数字作答） ．5．设 为奇数，则 除以 9 的余数为 ▲ ．n1277nnC6．已知复数乘法 （ ， 为虚数单位）的几何意义是将复数()cosi)xyiRyx,i在复平面内对应的点 绕原点逆时针方向旋转 角，则将点 绕原点逆yix,( )4,6(时针方向旋转 得到的点的坐标为 ▲ ． 37． 的展开式中有理项共有 ▲ 项．12x8．已知一个关于正整数 的命题 满足“若 时命题 成立，则n()P()nkN()Pn时命题 也成立” ．有下列判断：nk()（1 ）当 时命题 不成立，则 时命题 不成立；20132013（2 ）当 时命题 不成立，则 时命题 不成立；()（3 ）当 时命题 成立，则 时命题 成立；()nn（4 ）当 时命题 成立，则 时命题 成立．nPP其中正确判断的序号是 ▲ ． （写出所有正确判断的序号） 9．已知复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最大值是 ▲ ．z32iz10．已知扇形 ，点 为弧 上异于 的任OABBA,意一点，当 为弧 的中点时， PPOS的值最大．现有半径为 的半圆 ，在圆弧RMN上依次取点 （异于 ） ，则121,n ,的最大值为 ▲ ．NOPPOMSS2111．从红桃 2、3、4、5 和梅花 2、3、4 、5 这 8 张扑克牌中取出 4 张排成一排，如果取出的 4 张扑克牌所标的数字之和等于 14，则不同的排法共有 ▲ 种（用数字作答） ．12．若 ，则 的值为 ▲ . 40123()xaxax220413()()aa13． 数列 满足 ，其中 ，设 ，}{naknakn2,1Nnnaanf 2121)(则 等于 ▲ ． )01()23(ff14．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式可得，左边 的系数为 ，而右边1nnxxnx2nC，012012()( )( )nn nCxCx 的系数为n，01202 2)(nnnnn 由 恒成立，可2()()nxx得 ．2()nn nC利用上述方法，化简 ▲ ．021322()()nn nCC二、解答题（共 6 大题，共 90 分）15． （本题满分 15 分）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第z10|zi)2(一、三象限的角平分线上．（1 ）求复数 ；z（2 ）若 为纯虚数， 求实数 的值．()miRm16． （本题满分 15 分）4 个男同学，3 个女同学站成一排．（1 ）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2 ） 3 个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3 ）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4 ）其中甲、乙两名同学之间必须有 3 人，有多少种不同的排法？（用数字作答）17． （本题满分 15 分）已知 （ 是正实数）的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含 项(1)nmx x的系数为 112．（1 ）求 的值；,（2 ）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3 ）求 的展开式中含 项的系数．)1((xn2x（用数字作答）18． （本题满分 15 分）已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．（1 ）求取出的 4 个球均为黑球的概率；（2 ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（3 ）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列．19． （本题满分 15 分）已知 ，考查0(1,2)ian① ；1② ；212())4a③ ．133()9a归纳出对 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．2,n20． （本题满分 15 分）试用两种方法证明：（1 ） ；012()nnCN（2 ） ．212)n 且一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 1i7436或 485. ； 6. ； 7. ； 8. （2） （3） ； 7(32,)9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 531sinR42113. ； 14. 20142()C二、解答题（共 6 大题，共 90 分）15． （本题满分 15 分）解：（1）设 ， ，……………………………………1 分zabi,0Ra由题意： .①………………………………………………3 分21，()()2()iibi得 ②……………………………………………………5 分①②联立，解得 …………………………………………7 分3,a得 .………………………………………………………………8 分 3zi（2 ） ………………11 分()11()122mimi所以 且 ，……………………………………13 分00解得 .………………………………………………………………15 分716． （本题满分 15 分）解：（1） ；…………………………………………3 分620A（2 ） （捆绑法） ……………………………………7 分357（3 ） （插空法） ；………………………………… 11 分41（4 ） .………………………………………………15 分23517． （本题满分 15 分）解：（1） ，………………………………………………2 分26n解得 ；………………………………………………3 分8含 项的系数为 ，…………………………5 分x21Cmx解得 （舍负）.………………………………………6 分（2 ） ；………………………… 9 分1357888（3 ） ，……………… 11 分8()()(2)x所以含 的系数为 .………………………………15 分2x4281018． （本题满分 15 分）解：（1）设“取出的 4 个球均为黑球”为事件 ，A；2361()5CPA答：……………… ………………………………3 分（没有设或答扣一分）（2 ）设“取出的 4 个球恰有 1 个红球”为事件 ，B；123467()5CPB答：……………… ……………………………………6 分（没有设或答扣一分）（3 ） 所有可能的值为 0，1，2 ，3，4，， ……………………………………………………………………8 分(0)5P，……………………………………………………………………10 分71，…………………………………………………12 分23461()0C…………………………………………14 分735P所以 的分布列为1 2 3 45710…………………………15 分19． （本题满分 15 分）结论 ： ………………………………3 分21212()()nnaaa 证明：①当 时，显然成立；…………………………………………5 分②假设当 时，不等式成立，nk即 ，………………………7 分21212()()kkaaa 则 时，1212111 12221 1121 12()())()()()()k kkkk kkk kkkkaaaaaaa     ……………………………………………………14 分由①②，不等式对任意正整数 成立.………………………………15 分n20． （本题满分 15 分） （1）证明：方法 1 由 1()()nnnxCxN令 ，得 . …………………………3 分02方法 2 数学归纳法①当 时，显然成立；②假设当 时， ，nk01()kk 则当 时，由111,0,iii kkCCC 所以， 0 11210()()()2kk kkkkk  由①②，等式对于任意 恒成立.nN…………………………………7 分方法 3 含 个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证（方法 1 给 4 分，其他方法 6 分）（2 ） 方法 1先证 . 1(2,)knCkn， （注意 ）!!()(10!1，1!()!knknk所以 。 ……………………………………………………9 分1n所以…………………………11 分12011011()2n nn nCCC 方法 2 由 ，1(1)(,2)nnnxCxN两边求导，得 ，……………………14 分21nCx 令 ，得 . ……………15 分21nn  且www.ks5u.com www.ks5u.comwww.ks5u.com