第十七章 排列、组合、二项式定

第十七章 排列、组合、二项式定理1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现． 第 1课时 两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ 种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，……，做 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ 种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．基础过关知识网络考纲导读高考导航组合排列组合二项式定理两个计数原理排列排列概念排列数公式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式定理 二项式系数性质应用- 2 -例 1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生 48,50,52 人(1) 从中选 1 人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选 1 人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这 150 名学生中选 4 人参加学代会有多少种方法？(4) 从这 150 名学生中选 4 人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150 种 （2）48×50×52＝124800 种 （3） （4）150C4150A变式训练 1：在直角坐标 x－o－y 平面上，平行直线 x=n， （n=0，1，2，3，4，5） ，y=n， （n=0，1，2，3，4，5） ，组成的图形中，矩形共有（ ）A、25 个 B、36 个 C、100 个 D、225 个解：在垂直于 x 轴的 6 条直线中任意取 2 条，在垂直于 y 轴的 6 条直线中任意取 2 条，这样的 4 条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有 个， 故选 D。5126例 2. (1) 将 5 封信投入 6 个信箱，有多少种不同的投法？(2) 设 I＝{1,2,3,4,5,6}，A 与 B 都是 I 的子集，A∩B＝{1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来 7 位电话号码升为 8 位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为 0)解：（1）6 5 （2）27 （3）电话号码首位不为 0：9×10 7－9×10 6＝8.1×10 7变式训练 2：一个圆分成 6 个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑 6 种颜色。请问：⑴6 个小扇形分别着上 6 种颜色有多少种不同的着色方法?⑵从这 6 种颜色中任选 5 种着色,但相邻两个扇形不能着相同的颜色, 则有多少种不同的着色方法?解：⑴6 个小扇形分别着上 6 种不同的颜色,共有 种着色方法.7206A⑵6 个扇形从 6 种颜色中任选 5 种着色共有 种不同的方法;其中相邻两个扇形是同一562C种颜色的着色方法共有 ;因此满足条件的着色方法共有 种6AC 64805562AC着色方法.例 3. 如图 A，B，C，D 为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）DAA、8 种 B、12 种 C、16 种 D、20 种B C解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有 =4 种方法；14第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有 种方法；124根据分类计数原理知道共有 4+12=16 种方法典型例题第 - 3 - 页 共 30 页变式训练 3：某公司招聘进 8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有 2×(3＋3)×3＝36 种．例 4. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）A、26 B、24 C、20 D、193 5 12B 4 6 A 6 7 6 128 解：要完成的这件事是：“从 A 向 B 传递信息” ，完成这件事有 4 类办法：第一类：12 5 3第二类 ： 12 6 4第三类 ：12 6 7 第四类；：12 8 6可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是 3；第二类单位时间传递的最大信息量是 4； 第三类单位时间传递的最大信息量是 6；第四类单位时间传递的最大信息量是 6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选 D变式训练 4：7 个相同的小球，任意放入 4 个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有 1 个球” 。于是，我们采用“隔板法”来解决。在 7 个小球中的每两个之间分别有 6 个空，我们从 6 个空中任意选 3 个分别插入 3 块隔板，则这 3 块隔板就把 7 个小球分成 4 部分，而且每一部分至少有 1 个球。即有 =20 种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共C6有 20 种放球放法。注；（1）本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。（2）隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．第 2课时 排 列1．一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素” ；二是“按照一定顺序排列” ．因此当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．2．从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个为不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 Amn表示．排列数公式 Amn＝ ．这里 m≤n，其中等式的右边是 个连续的自然数相乘，最大的是 ，最小的是 ．基础过关- 4 -3．n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列，全排列数用 Ann表示，它等于自然数从 1 到 n 的连乘积，自然数从 1 到 n 的连乘积叫做 n 的阶乘，用 表示．4．解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法．5．排列问题常用框图来处理．例 1、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？(2) 同一排 6 张编号 1，2，3，4，5，6 的电影票分给 4 人，每人至少 1 张，至多 2 张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？（3） （06 湖南理 14）某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这 6 项工程的不同排法有多少种数？解：（1）分类：9 种（2）假设五个连续空位为一个整元素 a，单独一个空位为一个元素 b，另 4 人为四个元素c1、c 2、c 3、c 4．问题化为 a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是 a,b 不相邻，共有 ＝48 种；25A（3）将丙，丁看作一个元素，设想 5 个位置，只要其余 2 项工程选择好位置，剩下 3 个位置按甲、乙（两丁）中唯一的，故有 ＝20 种2A变式训练 1：有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分, 将这 9 个球排成一列有 ____ 种不同的方法.解：9 个球排成一列有 种排法,再除去 2 红、3 黄、4 白的顺序即可,9故共有排法 种。 答案:126012604329例 2．5 男 4 女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有 种，甲不站在正中间的排法有 种．(2) 甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种．(3) 甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种．丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种．(4) 甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种．(5) 5 名男生站在一起，4 名女生站在一起的排法有种．(6) 女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种．(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有 种．(8) 甲乙丙三人至少有 1 人在两端的排法有 种．(9) 甲乙之间有且只有 4 人的排法有 种．解：(1)8！, 8×8！ (2) 2×8！,6×7！(3) ×9！, 69A×1, 69×2×121(4) 27A×7!8！＋7×7×7！典型例题第 - 5 - 页 共 30 页(5) 2×5！×4！(6) 5！× 46A, 5！×4！×2(7) 9！－2×8！×2＋2×7！, 3×6！× 27A×2(8) 9！－ 37×6！(9) 捆绑法．2× 4P×4！ 也可用枚举法 2×4×7！ 变式训练 2：从包含甲的若干名同学中选出 4 人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任 2 名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有 72 种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5．例 3. 在 4000 到 7000 之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解：分两类．①类 5 在千位上：1×5× 28A＝280②类 4 或 6 在千位上：2×4× ＝448故有 280＋448＝728 个变式训练