9矩阵位移法习题

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1、第 9 章 矩阵位移法习题解答习题 9.1 是非判断题（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。 （ T ）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。 （ T ）F（3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。 （ F ）（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。 （ T ）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。 （ F ）（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。 （ F ）【解】 （1）正确。（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。（3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。（4）正确。（

2、5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。（6）错误。二者只产生相同的结点位移。习题 9.2 填空题（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的_，其二是_分析，其三是_分析。（2）已知某单元 的定位向量为3 5 6 7 8 9T，则单元刚度系数 应叠加到结构刚 e 35ek度矩阵的元素_中去。（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是_。（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成_矩阵和_列阵。（5）用矩阵位移法求得某结构结点 2 的位移为 =0.8 0.3 0.5T，单元的始、T22uv末端结点码为 3、2，单元定位向量为 ，设单元

3、与 x 轴之间的夹角为 ，(1) T0345 2则 _。(1)（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为，则该单元的轴力 FN=_kN。T7.5480.9754812.09eF【解】 （1）离散化，单元，整体；（2）k 68；（3）结点位移相等；（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）0 0 0 0.3 -0.8 0.5T；（6）-7.5。习题 9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题 9.3 图所示刚架的 中元素 、(1)K(1)k、 的值以及 中元素 、 、 的值。(1)23k()5(1)K(1)k()23(1)5kyl,EAIx习题 9.3 图【解】各刚度系数的

4、物理意义如习题解 9.3 图所示。因此，各刚度系数的值为， ， ；(1)/kEAl(1)2236/kIl(1)2356/kEIl， ， 。()I()0()1k(a)上111上()b23k上(c)35k()35k(1)dk(e)23k1()f35k()习题解 9.3 图习题 9.4 根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题 9.4 图所示刚架结构刚度矩阵中的元素 、 、 的值。各杆 E、A、I 相同。1k23 l3(0,)y2,1(,4)lx习题 9.4 图【解】各刚度系数的物理意义如习题解 9.4 图所示。因此，各刚度系数的值为， ， 。132EIAkll210k324EIl2112k上(

5、a)2k32(b)上=习题解 9.4 图习题 9.5 用简图表示习题 9.5 图所示刚架的单元刚度矩阵 中元素 ， 中元素 的物(1)K(1)23k(2)K(2)4k理意义。 y123x习题 9.5 图【解】各刚度系数的物理意义如习题解 9.5 图所示。12上(a)3k(1)FQ=231()4bk上()4习题解 9.5 图习题 9.6 习题 9.6 图所示刚架各单元杆长为 l，EA、EI 为常数。根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵 、 的第 3 列和第 5 列元素。(1)K(2)yx习题 9.6 图【解】各列刚度系数的物理意义如习题解 9.6 图所示。因而中第 3 列元素：(1)

6、KT2264600EIEIll 中第 5 列元素：(1)T323211IIllll 中第 3 列元素：(2)K T2264600EIIEIllll 中第 5 列元素：(2)TAll1(a)上3K()k2k43()5621k()654k5()32上bK1k3(2)4()6()56k415()3cK() d()K习题解 9.6 图习题 9.7 用先处理法，对习题 9.7 图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。 习题 9.7 图【解】离散化结果如习题解 9.7 图所示。因而，各单元定位向量为，T(1)0234T(3)56709， 。(2)567(4)8,)(0,

7、9),1,xy习题解 9.7 图本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。习题 9.8 用先处理法形成习题 9.8 图所示结构的综合结点荷载列阵。4m12536kN/习题 9.8 图【解】离散化如习题解 9.8 图所示。 5(0,)1(,2)96,784xy习题解 9.8 图非结点荷载引起的单元固端力为，T(2)P018012FT(3)P094.5094.5F各单元的等效结点荷载列阵为 (2) T(2)T()EP678012(3) T(3)T()EP8904.54.5F集成为结构的等效结点荷载列阵 TE012803.9直接结点荷载列阵为 TJ54P综合结点荷载列阵为 TJE016

8、8023.59习题 9.9 用先处理法求习题 9.9 图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。已知： 。42=2.10kNmEI 4I5m2kN/3I4习题 9.9 图【解】离散化如习题解 9.9 图所示。本题无需坐标转换。 2()134()习题解 9.9 图先求结构刚度矩阵。各单元的单刚为， ，(1)2/1EIK(2)3/12EIK(3)4/523EIK集成即可得到结构刚度矩阵 4/0.0.5318102/53.52961I 对 对称 称再求综合结点荷载列阵。非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为，T(2)E310.67.PT(3)E412.5.P集成为结构的等效结点荷载列阵 T

9、E.83.综合结点荷载列阵为 TJEE50510.678312.5PP习题 9.10 用先处理法求习题 9.10 图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆。52=10kNmEI 4521m习题 9.10 图【解】离散化如习题解 9.10 图所示。因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量，无需坐标转换。各单元的单刚为， ， ，(1)24/51EIK(2)34/52EIK(3)201/EIK(4)301/2EIK集成即可得到结构刚度矩阵54/52042013/1399EIK()xy习题解 9.10 图习题 9.11 用先处理法建立习题 9.11 图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆

10、 ，5=410kNEA。42=510kNmEI 4m3219kN/8习题 9.11 图【解】1）离散化如习题解 9.11(a)图所示。4(0,),25,63xy8kN9/FP12P34P56a 上(b) 上习题解 9.11 图2）计算结构刚度矩阵各单元单刚分别为：单元 (1)()40102343. 1.002.3.1671.0. 2.02.3.3674 K单元(2)()423450610.01. 2.975.8.9371.8534. .00.31.08752018756 K单元 (3)T(3)4240.91.930.2.01.31.875.875.543 870.0.02.1. K集成为总刚

11、42.3.00.701875.6.41875131.852.0.0.72.5. K2）计算综合结点荷载列阵除可以按照习题 9.8 的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。具体做法如下：将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解 9.11(b)图所示的矩阵位移法基本体系。由此，可得各附加约束上的反力为 T TP1P23P45P6801201FF因此，综合结点荷载列阵为 TP80123）列出结构刚度方程 K=P 124 382.02.3.004.775.1.6.48.8751

12、0 10. 12.u 对 称习题 9.12 用先处理法计算习题 9.12 图所示刚架的结构刚度矩阵。已知： ，5=3.0kNEA。42=.810kNmEI4m5321习题 9.12 图【解】离散化如习题解 9.12 图所示。各单元单刚分别为 3(0,)2(,34)1(0,)xy习题解 9.12 图单元 (1)()42340106.06. 2.81.52.48.5394.0.000.46.61.21529538 K单元 (2)T(2)43000.9.8.1.2.08.31.84.1.4900. .02.8.8 K集成为总刚 4.680.461.527.38010. 对 称K习题 9.13 用先处

13、理法计算习题 9.13 图所示组合结构的刚度矩阵 K。已知：梁杆单元的， ，链杆单元的 。5=3.210kNEA42=.810kmEI 5=2.410kNEA313m44m42习题 9.13 图【解】离散化如习题解 9.13 图所示。这里利用一般单元来计算链杆单元，令其 EI 为零，则该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。单元的杆端位移编码如习题解 9.13 图所示，其杆端转角在结点 4 处为“0” ，表示无杆端转角；在结点 2 处为“3” ，表示与单元和在该端的转角相同。点位移分量统一编码应给为“0” ，再令该单元 EI 为零。2(1,3)1(0,)4(0,)(0,4)3EI=()

14、xy习题解 9.13 图各单元单刚分别为单元和 (1) (1)2 2(1)(2)(1)40012323408. 8.9.91.801403. .00.8.4218 K 2单元 (3)T(3)40023.7.34.7.04218181.0.0.2.374702 K集成为总刚 419.072.34058.9.618. 对 称K习题 9.14 若用先处理法计算习题 9.14 图所示结构，则在结构刚度矩阵 K 中零元素的个数至少有多少个？ 6574321习题 9.14 图【解】离散化如习题解 9.14 图所示，则各单元定位向量为 1(0,)2(,3)4(,57)8,910,60,yx习题解 9.14 图， ，(1) T230(2) T13456(3) T8910457，(4)57(5)8901根据单元定位向量，判定各结点位移分量间的相关性。这里参考【例 10.2】的方法，具体为：位移分量 13、6 均与位移分量 711 无关，得到无关分量 20 对；位移分量 4、5、7 与位移分量 11无关，得到无关分量 3 对；合计无关分量共 23 对。说明 K 上半三角中，至少有 2