《1复数及复变函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1复数及复变函数（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、CH1 复数及复变函数,1、复数及其代数运算,2、复数的表示方法,3、复数的乘幂与方根,4、区域,5、复变函数,6、复变函数的极限与连续性,1. 复数的概念,1复数及其代数运算,3. 共轭复数,2. 代数运算,一般任意两个复数不能比较大小.,1. 复数的概念,判断复数相等,定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2. 代数运算,四则运算定义,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z
2、2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即：,共轭复数的性质,3.共轭运算,定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),例1,例2,1. 代数形式,2 复数的表示方法3 复数的乘幂与方根,4. 指数形式,3. 三角形式,2. 几何形式,1. 代数形式（点表示）,数z与点z同义.,2. 几何形式（向量表示）,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Arg z=0+
3、2k， kZ，,把其中满足 的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz.,z=0时，辐角不确定（不定义）,当z落于一,四象限时，不变.,当z落于第二象限时，加 .,当z落于第三象限时，减 .,由向量表示法知,3. 三角形式, 乘积与商,设 z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2) 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2),因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义： 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,
4、定理1可推广到n 个复数的乘积.,设z=r(cos n+isin n) ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n).,复数的乘幂,定义,问题 给定复数z，求所有的满足n=z 的复数.,复数的方根（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.,4. 指数表示法,模,一个辐角,注意： 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.,例1,例2,例3,例4,此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复
5、数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.,例5 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.,解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 .记为(z0 ,) 即，,说明,设G是一平面上点集,连通是指,D-区域,2. 简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,简单闭曲线的性质,3. 单连通
6、域与多连通域,多连通域,单连通域,例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的.,5 复变函数,3. 反函数或逆映射,2. 映射的概念,1. 复变函数的定义,1. 复变函数的定义与实变函数定义相类似,定义,例1,例2,2. 映射的概念,复变函数的几何意义,定义域,函数值集合,在几何上， w=f(z)可以看作：,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,图1-1,图1-2,图2,例3,3. 反函数或逆映射,例
7、 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,例5,例4 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象.,6 复变函数的极限与连续性,1. 函数的极限,3.函数的连续性,2. 运算性质,1. 函数的极限,几何意义: 当变点z一旦进入z0 的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,(1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.,(2) A是复数.,(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理
8、1,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=arg z 在原点及负实轴上不连续.,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数.,有界性：,本章作业,1.（3）；4.（4）；8.（4），（5）；14.（2），（4）；16.；21.（4） ，（6），（8），（10） ；22.（6），（7），（10）；26.（4）；31.或 32.,复球面与扩充复平面,南极、北极的定义,(1) 复球面,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,复球面的定义,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 ，因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,(2) 扩充复平面的定义,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,
