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1、1(第一部分)复变函数复习一复数的概念1.复数的概念: , 是实数, . . zxiyRe,Imxzyz21i注:两个复数不能比较大小.2.复数的表示1)模: ;2zxy2)幅角:在 时,矢量与 轴正向的夹角,记为 (多值函数) ;主值 是位于0xArgzargz中的幅角。(,3) 与 之间的关系如下:argzrctanyx当 ;0,x当 ;,argctn,0,yyzx4)三角表示: ,其中 ;注:中间一定是“+”号。cosinzargz5)指数表示: ,其中 。iearz(二) 复数的运算1.加减:若 ,则1122,zxiyzxiy121212xiy2.乘除:1)若 ,则122,ii;2 1
2、zxyxy。121 1212122iii xyxyi2)若 , 则121,iizez;12i1212ize3.乘幂与方根21) 若 ,则 。(cosin)izze(cosin)nnizze32) 若 ,则(cosin)izze(有 个相异的值)122si(0,12)nkkn(三)复变函数1复变函数: ,在几何上可以看作把 平面上的一个点集 变到 平面上的一个点集wfzzDw的映射.G2复初等函数1)指数函数: ,在 平面处处可导,处处解析;且 。cosinzxeyzzze注: 是以 为周期的周期函数。 (注意与实函数不同)zi3) 对数函数: (多值函数) ;l(arg2)Lzizk(0,12
3、)主值: 。 (单值函数)ln的每一个主值分支 在除去原点及负实轴的 平面内处处解析,且 ;zlnzz1lnz注:负复数也有对数存在。 (与实函数不同)3)乘幂与幂函数: ;(0)bLnae(0)bLnze注:在除去原点及负实轴的 平面内处处解析,且 。z1b4)三角函数: sincossin,cos,t,22ciiiizieezzgt在 平面内解析,且i,cozino,z注:有界性 不再成立;(与实函数不同)sn1,sz4) 双曲函数 ;,22zeehch奇函数, 是偶函数。 在 平面内解析,且 。shzcz,sz,shzczsh(四)解析函数的概念1复变函数的导数1)点可导: = ;0fz
4、00limfzfz2)区域可导: 在区域内点点可导。f2解析函数的概念41)点解析: 在 及其 的邻域内可导,称 在 点解析;fz0zfz02)区域解析: 在区域内每一点解析,称 在区域内解析;3)若 在 点不解析,称 为 的奇点;()fz00zf3解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件: 在 可导,fzuxyivzxiy和 在 可微,且在 处满足 条件:,uxy,v,CD,uvvxyx此时, 有 。uvfzix2函数解析的充要条件: 在区域内解析,fzxyiv和 在 在 内
5、可微,且满足 条件: ;,uxy,v,DCD,uvvxyx此时 。fzix注: 若 在区域 具有一阶连续偏导数,则 在区域 内是可微的。,uyv ,uxyvD因此在使用充要条件证明时,只要能说明 具有一阶连续偏导且满足 条件时,函数,uvCR一定是可导或解析的。()fzi3函数可导与解析的判别方法1)利用定义 (题目要求用定义,如第二章习题 1)2)利用充要条件 (函数以 形式给出,如第二章习题 2),fzuxyiv3)利用可导或解析函数的四则运算定理。 (函数 是以 的形式给出,如第二章习题 3)fz(六)复变函数积分的概念与性质1 复变函数积分的概念: , 是光滑曲线。1limnkckfz
6、dfzc注:复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 复变函数积分的性质1) ( 与 的方向相反) ;1ccfzdfzd1c2) 是常数; ,ccgfzgzd3) 若曲线 由 与 连接而成,则 。12 12cffzd53复变函数积分的一般计算法1)化为线积分: ;(常用于理论证明)cccfzduxvdyixudy2)参数方法:设曲线 : ,其中 对应曲线 的起点, 对应曲线 的终()ttcc点,则 。)cfzfz(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理:设 在单连域 内解析, 为 内任一闭曲线,则 fBc0czdA2复合闭路定理: 设 在多连域 内解析, 为 内任意一条简单闭曲
7、线, 是fDc12,nc内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以 为边界的区域全含于 内,则c 12,n D 其中 与 均取正向;cfzdA1,kncfzdck ,其中 由 及 所组成的复合闭路。0f1(,2)n3闭路变形原理 : 一个在区域 内的解析函数 沿闭曲线 的积分,不因 在 内作连续DfzccD变形而改变它的值,只要在变形过程中 不经过使 不解析的奇点。c4解析函数沿非闭曲线的积分: 设 在单连域 内解析, 为 在 内的一个原函fzBGzfB数,则 212112(,)zfdGz说明:解析函数 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只要求出原函数即可。5。 柯西积分公式:设 在区域
8、 内解析, 为 内任一正向简单闭曲线, 的内部完全属于fzDcc, 为 内任意一点,则D0zc002cfdzifA6高阶导数公式:解析函数 的导数仍为解析函数,它的 阶导数为f n0102(1,2)()!nnczidfz 其中 为 的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于 。cfzD0 D7重要结论:。 12,()ncindzaA( 是包含 的任意正向简单闭曲线)ca8复变函数积分的计算方法61)若 在区域 内处处不解析,用一般积分法fzDcfzdfztdt2)设 在区域 内解析, 是 内一条正向简单闭曲线,则由柯西古萨定理, c 0cfzA 是 内的一条非闭曲线,
9、对应曲线 的起点和终点,则有D12,zc21 1zcfdfFz3)设 在区域 内不解析 曲线 内仅有一个奇点: ( 在 内解析)c000102()!c nncfzdifzffzA()fzc 曲线 内有多于一个奇点: ( 内只有一个奇点 )ccfd1kcfzdickz或: (留数基本定理)12Re(),nkkcfzdisfzA 若被积函数不能表示成 ,则须改用第五章留数定理来计算。1()nofz(八)解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念:若二元实函数 在 内有二阶连续偏导数且满足 ,(,)xyD20xy为 内的调和函数。(,)xyD2解析函数与调和函数的关系 解析函数 的实部 与虚部 都是调
10、和函数,并称虚部 为实部 的共轭调和函数。fzuivvvu 两个调和函数 与 构成的函数 不一定是解析函数;但是若 如果满足柯西()fzui,黎曼方程,则 一定是解析函数。uiv3已知解析函数 的实部或虚部,求解析函数 的方法。fzfzuiv1)偏微分法:若已知实部 ,利用 条件,得 ;,xyCR,xy对 两边积分,得 vuyxuvdg(*)7再对(*)式两边对 求偏导,得 (*) xvudygxx由 条件, ,得 ,可求出 ;CRuyygx代入(*)式,可求得 虚部 。 uvdgx2)线积分法:若已知实部 ,利用 条件可得,uxyCR,vdxdyd故虚部为 ;0,xyuycx由于该积分与路径
11、无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其中 与 是解析区域中0,xy,的两点。3)不定积分法:若已知实部 ,根据解析函数的导数公式和 条件得知,,uxyCRvufzii将此式右端表示成 的函数 ,由于 仍为解析函数,故Ufz( 为实常数)fzdc注:若已知虚部 也可用类似方法求出实部v.u(九)复数项级数1复数列的极限1)复数列 ( )收敛于复数 的充要条件为nnaib1,2 abi(同时成立)lmlinb2)复数列 收敛 实数列 同时收敛。n,n2复数项级数1)复数项级数 收敛的充要条件是级数 与 同时收敛;0()nnaib0na0nb2)级数收敛的必要条件是 。lim0n注:复数项级数的敛
12、散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。(十)幂级数的敛散性81幂级数的概念:表达式 或 为幂级数。00()nnczncz2幂级数的敛散性1)幂级数的收敛定理阿贝尔定理(Abel):如果幂级数 在 处收敛,那么对满足0ncz0的一切 ,该级数绝对收敛;如果在 处发散,那么对满足 的一切 ,级数必0zz0z0zz发散。2)幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内,绝对收敛;在圆域外,发散;在收敛圆的圆周上可能收敛;也可能发散。3)收敛半径的求法:收敛圆的半径称收敛半径。 比值法 如果 ,则收敛半径 ;1lim0nc1R 根值法 ,则收敛半径 ;lin 如果 ,则 ;说明在整个复平面上处处收敛
13、;0R如果 ,则 ;说明仅在 或 点收敛;0z注:若幂级数有缺项时,不能直接套用公式求收敛半径。 (如 )20ncz3幂级数的性质1)代数性质:设 的收敛半径分别为 与 ,记 ,00,nnazb1R212min,R则当 时,有zR(线性运算)000()nnnnabazbz(乘积运算)01000()()()nn nnz a2)复合性质:设当 时, ,当 时, 解析且 ,r0nfzRgzzr则当 时, 。zR0nnfgzagz3) 分析运算性质:设幂级数 的收敛半径为 ,则0n0R 其和函数 是收敛圆内的解析0nfza函数;9 在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不变;且 10nfzazzR 在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变; 100z nnfd(十一)幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开:设函数 在圆域 内解析,则在此圆域内 可以展开成幂级数 fz0zRfz;并且此展开式是唯一的。00!nnfzfz注:若 在 解析,则 在 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径 ;f0fz0 0Rza其中 为从 到 的距 最近一个奇点 之间的距离。 Rza2常用函数在 的泰勒展开式01) 2301!nznzze z2) 20nnzz 13) 3521 210() ()si!n nn zz z4) 24