《通信原理AI第3次课教案(2013)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《通信原理AI第3次课教案(2013)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.复习：3.1 随机过程的一般描述(1) 随机过程的解析描述与统计描述把随机过程看成是样本函数的集合或全部可能实现构成的全体，这是随机过程的解析描述。统计描述基于把随机过程看成是随机变量的集合，可通过概率密度函数或数字特征了解其统计特性。例 3.1.1 随机过程举例：具有随机相位的余弦波 。其tACostc中，随机变量 在 内均匀分布。2,0(2) 随机过程统计特性随机过程的统计特性通常用概率特性或数字特征来表征。其中：概率特性 数字特征分布函数概率密度函数数学期望方差相关函数协方差函数(3) 随机过程概率特性 随机过程 的一维分布函数t11,xPxF 随机过程 的一维概率密度函数t11,x
2、ttxf由于 是任取的，从上式可见，随机过程的一维概率密度函数是时间 的函t t数，通常直接写成 。txf,1 随机过程 的二维分布函数t21212 ,; xttPxF 随机过程 的二维概率密度函数t21212,;,;xtFtxf 上式表明，随机过程的二维概率密度函数与任意两个时刻 和 有关。1t22.本次课学习的主要章节3.2 随机过程的部分描述数字特征3.3 平稳随机过程3.2 随机过程的部分描述数字特征在任意一个给定时刻，随机过程定义一个随机变量，随机过程是随机变量的集合。因此，我们可以利用随机变量的统计平均值来定义随机过程的各种统计平均值。1数学期望（均值）, 是时间 的确定函数。 t
3、adxtftE,1 t（3.2.1）2方差= tD 2tEt（3.2.2）= = , 也是时间 的函数。 tEt22t2t（3.2.3）3自协方差函数与自相关函数 自协方差函数= 21,tB 21tatE（3.2.4）= 2121tt（3.2.5） 3 应用：若 ，则称 与 是不相关的。0,21tB1t2t 自相关函数= 21,tR 21tE（3.2.6）= 21212,;dxtxf（3.2.7）自相关函数与任意两个时刻 和 有关。如果 ，并令 ，即1t212t12t是 与 之间的时间间隔，则随机过程的相关函数 可表示为 。2t1 ,R,R这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起点） 及时间间
4、隔 。1t4互协方差函数与互相关函数= 21,tB 2211tatatE（3.2.8） = 21,tR 21tE（3.2.9） 3.3 平稳随机过程通信系统中所遇到的信号和噪声大多数均可视为平稳随机过程。3.3.1 平稳随机过程定义1.狭义（严）平稳随机过程若一个随机过程 的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，也就是说，t对于任意的正整数 和所有实数 ，有n= nttxf ,;,2121 nnttxf ,;,2121（3.3.1）则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。严平稳是非常严格的条件，只有很少一部分平稳过程（如高斯随机过程）满足该条件。2.广
5、义（宽）平稳随机过程 若一个随机过程 的数学期望（及方差）与时间无关，而其自相关函数仅t与时间间隔 有关，则称这个随机过程是广义平稳的或宽平稳的。因为 令式（ 3.3.1）中 ，有 = ，这表明过程的一维1n1,txf1,txf概率密度函数与时间 无关，即txff11,（3.3.2）由数学期望的定义式（3.2.1）可知，过程的数学期望与时间无关，为常数。 再令式（3.3.1）中 ，有2n= （3.3.3）12,;txf212,;,txf设 ，上式可改写成：12t= =2,;xf12,;txf 121,;,txf 21,;fx这表明过程的二维概率密度函数不单独依赖于时刻 和 ，而只与时间间隔（两
6、时刻的相对位置）有关，由自相关函数定义式（3.2.7）可知，过12t程的相关函数仅与时间间隔有关 ，即RttR,21（3.3.4）由和可见，对于狭义平稳随机过程，要求一切 都满足式（3.3.1）的n条件；而广义平稳随机过程只要 和 成立既可。1n2 对于平稳随机过程，利用式（3.2.3）及结论和，可得：= = tDtatE20aR（3.3.5）上式表明，平稳随机过程的方差也是常数。3.狭义平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。例 3.3.1 设余弦波 = 是一个具有随机相位的随机过程，ttACosc其中，A 和 均为常数，随机变量 在 内均匀分布。试证明： 是广义c2,0()t平稳的。
7、证明：按题意，随机相位 的概率密度函数为其 他021)(f 5 则 的数学期望为()t= E at= E ACosc= dftc20= tosAc2120= dtSintCcc20= - dostAc20 itiAc20= 0 （常数）= tR,tE= tCossAcc2= 2tcc= （仅与时间间隔 有关）cCosA2的数学期望为常数（等于 0） ，自相关函数只与时间间隔 有关，故()t 为广义平稳随机过程。3.3.2 各态历经性（遍历性）若平稳随机过程 的“时间平均 ”可以代替“统计平均 ”，即有tXaa2/1limTdtxa（3.3.6）则称 为均值遍历过程。tX 若 的又是方差遍历和自
8、相关遍历过程，即有tX2/221limTdtatx（3.3.7）2/liTtxtR（3.3.8）则称 为具有各态历经性的平稳随机过程。tX应用：在计算各态历经平稳随机过程的数字特征时，只需得到随机过程的一个在足够长的时间间隔 内的任一实现 即可。Txt例 3.3.1（续 1） 设余弦波 = 是一个具有随机相位的随tACosc机过程，其中，A 和 均为常数，随机变量 在 内均匀分布。试证明：c2,0是各态历经性的。()t证明：现在求解一个样本函数时间平均。根据式（3.3.6）和（3.3.8）,得2/ 0)cos(1limTdtAa2/ )(cosli)(Tc dttAtR 2sli2/ 2/ c
9、Tc ttdtcAos2比较统计平均与时间平均，得 ， ,因此，随机相位余弦波是a)(R各态历经性的。3.3.3 平稳过程的相关函数与功率谱密度自相关函数是描述平稳随机过程特性的一个重要数字特征。除自相关函数本身具有许多简单实用的性质外，它还与平稳随机过程的频谱特性有着内在的联系。1.平稳随机过程自相关函数的性质(1) 的平均功率： tStER20（3.3.9） 7 (2) 若 为实平稳随机过程，则 为偶函数： tRR（3.3.10） (3) 的上界： 0（3.3.11）因为= + 2tEtE2t2tE= 2 = R0R20因此， ，即 。0R0R(4) 的直流功率： = ttE2（3.3.12）(5) 的交流功率（方差）： = t R02（3.3.13）补充：互相关函数的一个性质，即 。例 3.3.1（续 2） 设余弦波 = 是一个具有随机相位的随ttACosc机过程，其中，A 和 均为常数，随机变量 在 内均匀分布。试说明它的c2,0自相关函数的性质。解：画出 的自相关函数 曲线如图 3.3.1 所示。()tcRos图 3.3.1 随机相位余弦波的自相关函数由图可见， 为 的偶函数； ； ，其直流功率经)(R2(0)/RA)(0R计算得 （见例 3.3.1） ，说明无直流功率，这时交流功率就是 。02tE 2/A
