江苏省扬州市2015届高三高考数学考前指导原创题交流数列（扬大附中）

1.已知数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,数列 满足 .{}na1a2{}nb2nna(1) 若 成等比数列,求数列 的通项公式；134{}n(2) 当 时,不等式 能否对于一切 恒成立？请说明理由.285bNA(3) 数列 满足 ,其中 .当 时,求{}nc1())2nncA1,()ncfbc20a的最小值.()f解：(1) .21432(),,8,20n naaa(2) , , .nnb2214()()()nab令 , , (对称轴方程)22())()4gx91[,]4又 ,即 时, 取得最小值.,5NA0a()fx当 时,不等式 对于一切 恒成立.2185nbnNA(3) ∵ ,1())nncA 21121321()()()2()nnncc ∴当 时,0a2 210,()09()nn nbfb21(1)1()981nf(2nf时, ; 时,5n)(f4()(fnf即 (1)5,)6f   .min()16f2.对于给定数列 {}nc，如果存在实常数 ,pq使得 1ncpq对于任意 *nN都成立，我们称数列 是 “ 类数列” ．M（1）若 an2， 3nb， *N，数列 {}na、 b是否为“ 类数列”？若是，指M出它对应的实常数 ,pq，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列 {}na是“ 类数列” ，则数列 }{1na也是“ 类数列” ；MM（3）若数列 满足 12， )(23*1Ntann， t为常数．求数列 {}na前项的和．并判断 n是否为“ 类数列” ，说明理由；01解：（1）因为 ,a则有 1,n*故数列 {}n是“ 类数列” ， 对应的实常数分别为 1,2．M因为 32b，则有 12nb *N故数列 {}n是“ 类数列” ， 对应的实常数分别为 ,0．（2）证明：若数列 na是“ 类数列” ， 则存在实常数 ,pq，使得 1nnapq对于任意 *nN都M成立，且有 21nnpq对于任意 *nN都成立，因此 12aaq对于任意 *n都成立，故数列 1na也是“类数列” ． M对应的实常数分别为 ,p． （3）因为 *132()nnatN 则有1+ 2+ 45a  +20S2013()a2014()t若数列 {}n是“ 类数列” ， 则存在实常数 ,pq 使得 1nnapq对于任意M*N都成立，且有 21nnapq对于任意 *nN都成立，因此 12aq对于任意 *n都成立，而 *13()nnt，且 13()natN则有 2tp对于任意 *都成立，可以得到 (2)0,tpq，（1）当 ,0q时， 12n， n， t，经检验满足条件。（2）当 t 时， a， 1()n， 经检验满足条件。因此当且仅当 1t或 0，时，数列 na也是“ 类数列” 。 M对应的实常数分别为 2,, 或 1,．3.如果数列 同时满足：（1）各项均不为 ， （2）存在常数 k, 对任意na0都成立，则称这样的数列 为“类等比数列” .由此等比数列*22,kNna必定是“类等比数列” .问：（1）若数列 为“类等比数列” ，且 (a， b 为常数)，是否存在常数 λ ，使na12,得 对任意 都成立？若存在，求出 λ ；若不存在，请举出反例；21n*N（2）若数列 为“类等比数列” ，且 ， (a， b 为常数)，求数列n 12,a2k的前 n 项之和 ；数列 的前 n 项之和记为 ，求aSnT43kN解： （1）存在常数 使 ．,2abk12nna（或从必要条件入手 ）2121313222kbkaa证明如下：因为 所以,221kann 1,*nnkN所以 即121na .22 n由于 此等式两边同除以 得 0,,nnnaa112所以 即当 都有,231112aann  *N，123n因为 所以 ， 所以,,,2211 kabann akb23abbka22231所以对任意 都有 此时 ，*nN,12nnabk2（3） ，00)(3131213312  aaaka，223 nnn均为公比为 的等比数列 21,， 21(),nnab为 奇 数为 偶 数 0,43(),21nkaSbnN