线性代数 第二章总结

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1、第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。 1 矩阵的概念一、内容提要1矩阵定义 由 个数排

2、成的 m 行 n 列的矩形数表nmnmaa 212112称为一个 mn 矩阵，其中 表示位于数表中第 i 行第 j 列的数（ ； ） 。ij mi,21nj,21又称为矩阵的元素。ija规定，11 矩阵 。a)(矩阵也可表示为 或 。如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表ijnmij示矩阵，如：A，B，.，或 ， ，.。AB元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。矩阵 A= ，B= 是同型矩阵。若它们的对应元素相等，即nmijanmijbnji 2,1;,那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作：A = B。2特殊矩

3、阵30零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。如一个 的零矩阵为nmn0 记为 。在不会引起混淆的情形下，也可记为 。0nm行矩阵 仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量)，如A=na121 也记为 A= ,列矩阵 仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量) ，如 A= 121na方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵，例如 A= nnnaa 212112称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，简记为 A= 。 nija在 n 阶方阵中，过 ， ， 元素的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元12,素称为主对角元。对角矩阵 主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如。n21矩阵

4、中未写出来的元素为 0。单位矩阵 主对角元全为 1 的对角矩阵称为单位矩阵。简记为 E 或 I。有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处，如nnE131表示 n 阶单位矩阵。数量矩阵 主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵。如。c三角矩阵 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵。如nnaa 2211为 n 阶上三角矩阵；nnaa211为 n 阶下三角矩阵。二、例题分析矩阵理论在自然科学、工程技术及经济领域中，都有广泛的应用。下面举几个例子，说明矩阵概念的实际背景。例 1 在国民经济的数学问题中，常常用到矩阵。例如，假设要将某种物资从 m 个产地C1，C 2，.，C m 运往 n

5、 个销地 B1，B 2，.，B n。如果用 表示由产地 Ci（ ）运到ijp,21销地 Bj（ ）的数量，那么这个问题的调运方案就可用一个矩阵表示：,。mnmnPp 212112例 2 在解析几何中矩阵是研究坐标变换的有力工具。例如，平面直角坐标系的旋转变换为cossiniyxy其中 为 x 轴与 x轴的交角。显然，新旧坐标之间的关系可以通过公式中系数所构成的矩32阵 cossini完全确定，它称为上述坐标变换的矩阵。例 3 n 个变量 与 m 个变量 之间的关系nx,21 my,21nmmmnxaxay 2121表示一个从变量 到变量 的线性变换，其中 为常数。线性变换nx,21 y, ij

6、a（2.2）的系数 构成矩阵 A =ijanij)(三、小结矩阵的实质：矩阵 是由 m 行 n 列元素组成的一个数表。nij)(矩阵与行列式在形式上有些类似，但在意义上完全不同。一个 n 阶行列式是由 n 行 n 列元素表示的一个算式，计算结果是一个数；而 矩阵是由 m 行 n 列元素表示的一个数表，这里可以有 的情况。nm 2 矩阵的运算一、内容提要1矩阵的加法设 A= 与 B= 是两个同型矩阵，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A+B，规定为nmija)(nmijb)(nmbabanmmn 21 22 1121矩阵的加法满足下面的运算规律：（1） 交换律： ；AB（2） 结合律： 。C)()

7、(A 的负矩阵为 A，即 ija2矩阵的减法。)(3数乘矩阵法33数 与矩阵 的乘积记作 或 A ,规定为nmijaA。mnmnaa 212112数乘运算有下面的运算规律：（1） ；)()(A（2） ;（3） (A+B) = A+ B 。4矩阵与矩阵的乘法设 A= ，B= ，那么规定 A 与 B 的乘积是一个 矩阵 C = 。 smijansijb nmnmijc其中 ， 。skjijisjijiij bac 121 ; ,21(i ),21j并把此乘积记作 C =AB。矩阵乘法满足下列运算规律（假设下列运算都是可行的）：（1） 结合律： ;)()(BA（2） 左分配律： ；C右分配律： ；（

8、3） ；（ ）)()(ABR（4） 设 A 是 矩阵，B 是 矩阵，则smns, , 。EABEsn 阶方阵的幂：设 A 是 n 阶方阵，规定 。其中，k ，l 为正整数。llklklkk A) ( , 1205矩阵的转置把矩阵 A 的行换成同序数的列得到新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 。T矩阵的转置满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：（1） ；T)(（2） ；TB（3） ；（4） 。TA)(推广到 s 个矩阵乘积为： 。TsTsAA121)( 6方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做 A 的行列式，记作 。A由方阵 A 确定的行列式 满足下列运算

9、规律（设 A、B 为 n 阶方阵， 为数）：34（1） ； AT（2） ； n（3） 。B7共轭矩阵当 A= 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 。 称为 A 的共轭矩阵。)(ijaijaij )(ijaA共轭矩阵满足下列运算规律（设 A，B 为复矩阵， 为复数，且运算都是可行的）：（1） ； B（2） ； （3） 。A8常用结论（1）n 阶方阵 A 满足， ，则称 A 为对称矩阵；T（2）n 阶方阵 A 满足， ，则称 A 为反对称矩阵。n 阶矩阵 A 为对称矩阵的充分必要条件是 。jiijan 阶矩阵 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 。当 i=j 时， ，0ia（3）若 AB = BA

10、，则称 A 与 B 可交换。（4）设对角矩阵 n21则 nnnn 212121。nn21二、例题分析矩阵的加法、减法和数乘法（即矩阵的线性运算）与数的线性运算没有质的改变，只有量的不同。例4 设 A= ，B = ，且2A3X = B，求矩阵X。12031解 在 2A3X = B 两端同加上（2A）得，。 35两端同时除以 得，)3()2(31BAX213100318矩阵与矩阵的乘法与数的乘法却有着质的不同。例5 设某地区有甲、乙两个工厂，每个工厂都生产“、 ”3 种产品。已知每个工厂的年产量（单位：个）如表 1 所示，每种产品的单价（元/个）和单位利润（元/个）如表 2 所示。求各工厂的总收入

11、与总利润。表1 表2 工厂 产品 单价 单位利润 甲 a213 1b12乙 1a2 33解 表1、表2可以分别用下列矩阵表示：， 23211aA321bB容易理解各工厂的总收入与总利润构成的矩阵就是 。AC23211aABC321b 3221232112 1baba也可以列表如下：表3产品 总收入 总利润甲 121baba3121baba乙 3产品 项目项目36例 6 设 ， 。523410A25031B求（1） ；（2） ；（3） 。BTA解：（1） )( 1569230410625341 93820。106386（2） 。TAB203552410209813（3） 。3)(5418例 7

12、设 ，求 .01AkA解法 1：首先观察, 0102 220132323A37由此推测 。kkkkA02)1(1 )2(用数学归纳法证明:当 时,显然成立.2k假设 时成立，则 时，1k 01 02)1(11 kkkkA11110)(2)(kkkk由数学归纳法原理知: 。kkkkA02)1(1解法 2：将 A 分解为两个简单矩阵之和，即。 01001BE单位矩阵 E 和任何矩阵可交换，于是有kkBA)(kkk BEEBEk )()(!32)1()(!21( 321 kkk!)38而 ，010102B，123故 。所以，0kBn，21!)(BkBEA02)1(001kkkkk .kkk02)1(1例 8 设 都是 阶反对称矩阵，证明BA ,n（1） 是对称矩阵；2（2） 是反对称矩阵。证 都是 阶反对称矩阵，因此 ,， 。ATBT（1） 。因此， 是对称矩阵。222 2A（2） BTTB)()(。BA故 是反对称矩阵。A讨论方阵是否是对称矩阵、反对称矩阵，也可以从其元素讨论：若 ，则 n 阶矩阵 A 为对称矩阵；若 （当 i=j 时， ） ，则 n 阶矩阵jiija jiija0iaA 为反对称矩阵。显然若能用其转置矩阵是否与本身相等或差一负号相等来考察矩阵是不是对称矩阵或反对称矩阵，要方