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1、奥赛培训讲义振动和波1第六部分 振动和波第一讲 基本知识介绍振动和波的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。一、简谐运动1、简谐运动定义： = k F的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。谐振子的加速度： = am2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在 x 方向的投影） ，圆周运动的半径即为简谐运动的振幅 A 。依据： x = m 2F 对于一个给定的匀速圆周运动，m 、 是恒定不变的，可以令： = k 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式。所以，度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图 1
2、不难得出位移方程： = t + ) x速度方程： = t +) = 2A t +) t +)称相位， 称初相。运动学参量的相互关系： = 2axA = 202)v( 0谐运动的合成a、同方向、同频率振动合成。两个振动 t + 1)和 t + 2) 合成，可令合振动 x = t + ) ，由于 x = 解得A = ，= 22121 221显然，当 2 1 = 2（k = 0，1，2，） ，合振幅 A 最大，当 2 1 = （2k + 1） 时（k = 0， 1，2，） ，合振幅最小。b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动 x = t + 1)和 y = t + 2)时，这两个
3、振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数奥赛培训讲义振动和波2t 后，得一般形式的轨迹方程为+ 2 2 1) = 2 1)21 2 1 = 2（k = 0，1，2，） ，有 y = x ，轨迹为直线，合运动仍为简12 2 1 = （2k + 1） 时（k = 0，1，2，） ，有 + = 1 ，轨迹为椭圆，合21 2 1 取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形” ，不是简谐运动。c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令 1t + ) 和 2t + ) ，由于合运动 x = 得：x = （2t） t +） 。合运动是振动，但不是简谐运动，212称为角频率为 的“拍”
4、现象。14、简谐运动的周期由式得：= ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 2 5、简谐运动的能量一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即= 11注意：振子的势能是由（回复力系数）k 和（相对平衡位置位移）x 决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。6、阻尼振动、受迫振动和共振和高考要求基本相同。二、机械波1、波的产生和传播产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素）2、机械波的描述a、波动图象。和振动图象的联系b、波动方程如果一列简谐波沿 x 方向传播，振源的振动方程为 y =
5、 t + ） ，波的传播速度为 v ，那么在离振源 x 处一个振动质点的振动方程便是y = t + - 2= （t - ）+ 任意一个时刻 t ，都有一个 y（x）的正弦函数，在 标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称 y = （t - ）+ 为波动方程。3、波的干涉奥赛培训讲义振动和波3a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加） 。b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如
6、图 2 所示，我们用 2表示两个波源，P 表示空间任意一点。当振源的振动方向相同时，令振源 ，振源 则在空间 P 点（距 距 ，两振源引起的分振动分别是 A 1（t ） A 2（t ） 便出现两个频率相同、初相不同的振动叠加问题（ 1 = ， 2 = ） ，且初相差 = r 2 。根据前面已经做过的讨论，有v （k = 0，1，2，） ，P 点振动加强，振幅为 （2k 1） 时（k = 0，1，2，） ，P 点振动削弱，振幅为A 1A 2。4、波的反射、折射和衍射知识点和高考要求相同。5、多普勒效应当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化。多普勒效应的定量讨论可以
7、分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率 f 和波相对介质的传播速度 v 是恒定不变的）a、只有接收者相对介质运动（如图 3 所示）设接收者以速度 对静止的波源运动。如果接收者静止在 A 点，他单位时间接收的波的个数为 f ，当他迎着波源运动时，设其在单位时间到达 B 点，则= 、 运动到 B 的过程中，接收者事实上“提前”多接收到了 n 个波n = = = f/单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f + n = f ，这就是接收者发现的频率 即1 f 果 离波源运动，只要将上式中的 入负值即可。如果 方向不是正对 S ，只要将 正对奥赛培训讲义振动和波4的分量即可。b、只有波源相
8、对介质运动（如图 4 所示）设波源以速度 对静止的接收者运动。如果波源 S 不动，在单位时间内，接收者在 A 点应接收 f 个波，故 S 到 A 的距离： = 在单位时间内，S 运动至 S，即 = 由于波源的运动，事实造成了 S 到 A 的 f 个波被压缩在了 S到 A 的空间里，波长将变短，新的波长= = = = ff每个波在介质中的传播速度仍为 v ，故“被压缩”的波（A 接收到的波）的频率变为 = f 离接收者，或有一定夹角的讨论，类似 a 情形。c、当接收者和波源均相对传播介质运动当接收者正对波源以速度 对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度 对介质速度）运动，我们的讨论可以在 b
9、情形的过程上延续 f 121关于速度方向改变的问题，讨论类似 a 情形。6、声波a、乐音和噪音b、声音的三要素：音调、响度和音品c、声音的共鸣第二讲 重要模型与专题一、简谐运动的证明与周期计算物理情形：如图 5 所示，将一粗细均匀、两边开口的 U 型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为 L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式，值得注意的是，回复力 系指振动方向上的合力（而非整体F合力） 。当简谐运动被证明后，回复力系数 k 就有了，求周期就是顺
10、理成章的事。本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为 x 、水银密度为 、U 型管横截面积为 S ，则次瞬时的回复力F = 、m 为固定值，可令： = k ，而且 F 与 x 的方向相反，故汞柱做赛培训讲义振动和波5周期 T = 2 = 2柱的周期为 2 。学生活动：如图 6 所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮上覆盖一块均质的木板。已知两滚轮轴线的距离为 L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为 、木板的质量为 m ，且木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）力
11、矩平衡和 F 6= 0 结合求两处弹力求摩擦力合力答案：木板运动周期为 2 。固应用：如图 7 所示，三根长度均为 L = 质量均匀直杆，构成一正三角形框架 点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。杆 一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。设松鼠的质量为 m ，即：N = 再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。以 C 点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力 N、和松鼠可能加速的静摩擦力 f ，它们合力矩为零，即： 图 7，设
12、它在导轨方向上距 C 点为 x） ，上式即成：Nx = f 解两式可得：f = x ，且 f 的方向水平向左。个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以 C 在导轨上的投影点为参考点，x 就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因素，松鼠的合力与位移满足关系奥赛培训讲义振动和波6= kFk = ，对于这个系统而言，k 是固定不变的。案：松鼠做简谐运动。评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题，问法比较模糊。如果理解为定性求解，以上答案已经足够。但考虑到原题中还是有定量的条件，所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如，我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2 = 2 = 型的简谐运动1、弹簧振子物理情形：如图 8 所示，用弹性系数为 k 的轻质弹簧连着一个质量为 m 的小球，置于倾角为 的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期 T 。学生自己证明。周期 T = 2 个结论表明，弹簧振子完全可以突破放置的方向而伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实质。其次，我们还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何一个恒力（如电场力） ，它的运动性质仍然不会改变。当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改变。譬如，振子的平衡位置
