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1、20062007 学年度北京市朝阳区高三第一次统一考试数 学 试 题(文科)2007.4(考试时间 120 分钟,满分 150 分)第卷(选择题,共 40 分)1设集合 U = R,集合 M = x| x 0, N = x | x2 x,则下列关系中正确的是 ( )A BNMC D)(1 NC)(12在ABC 中,sin 2A = sin 2B 是 A = B 的 ( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知 a、b 是两条不重合的直线,、 是两个不重合的平面,给出四个命题:ab,b,则 a;a、 ,a,b,则 ;a 与 成 30的角,ab,则 b 与
2、成 60的角;a,b,则 ab.其中正确命题的个数是 ( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个4已知数列a n的前 n 项为 Sn,S 3 = 3,S 6 = 27,则此等比数列的公比 q 等于 ( )A2 B 2 C D2125从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师,派往郊区 3 所学校支教,每校 1 人.要求这 3 位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( )A210 种 B 186 种 C180 种 D90 种6已知函数 ,则 的反函数是 ( 0,24)(2xxf )(xf)A B,)(21f 0,24)(21xfC D04xx x7已知椭圆的焦点是 F1、F
3、2,P 是椭圆上的一个动点,过点 F2 向F 1PF2 的外角平分线作垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 ( )A圆 B椭圆 C直线 D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性:若存储器中原有数据个数为 m 个,则从存储器中取出 n 个数据后,此存储器中的数据个数为 mn 个;若存储器中原有数据为 m个,则将 n 个数据存入存储器后,此存储器中的数据个数为 m + n 个.现已知计算机中 A、B、C 三个存储器中的数据个数均为 0,计算机有如下操作:第一次运算:在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于 2 的数据;第二次运算:从 A 存储器中取出 2 个数据,将这 2 个数据存入 B
4、 存储器中;第三次运算:从 C 存储器中取出 1 个数据,将这 1 个数据存入 B 存储器中;第四次运算:从 B 存储器中取出 A 存储器中个数相同的数据,将取出的数据存入 A存储器,则这时存储器中的数据个数是 ( )A8 B 7 C6 D5第卷(非选择题,共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填在题中横线上.9某市三所学校共有高中学生 8000 人,其中 A 校 2520 人;B 校 3280 人;C 校 2200 人.现在采用分层抽样方法从所有学生中抽取 200 人进行心理测试.上述三所学校分别应该抽取 人.10若(1ax) 6 的展开式中 x
5、4 的系数是 240,则实数 a 的值是 .11圆 x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0 上的点到直线 xy 1 = 0 的最大距离与最小距离的差为 .12已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切,若球心到二面角的棱的距离是 ,5切点到二面角棱的距离是 1,则球的表面积是 ,球的体积是 .13已知向量 a =(2,3), ,且 ab,则|a| = ,b 的坐标是 .32|b14已知函数 且不等式 的解集 .),1(|)(xxf 1)(xf三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分 13 分)已知向量 ,函数)cos,(),si
6、n(coxbxa .12)(baxf()求函数 f(x)的最小正周期;()当 时,求 f(x)的单调减区间.2,016(本小题满分 13 分)甲、乙两支篮球队进行比赛,已知每一场甲队获胜的概率为 0.6,乙队获得的概率为 0.4,每场比赛均要分出胜负,比赛时采用三场两胜制,即先取得两场胜利的球队胜出.20070410 ()求甲队以二比一获胜的概率;()求乙队获胜的概率;17(本小题满分 13 分)如图,棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 AD、CD 的中点,O 是点A 在平面 BCD 内的射影.()求直线 EF 与直线 BC 所成角的大小;()求点 O 到平面 ACD 的距
7、离;()求二面角 EBEF 的大小.18(本小题满分 13 分)已知函数 处有极值, 处的切线 l 不1)(23xcbaxf 在 2)(xf在过第四象限且倾斜角为 ,坐标原点到切线 l 的距离为4.2()求 a、b、c 的值;()求函数 上的最大值和最小值.23,1)(在 区 间xfy19(本小题满分 14 分)已知数列a n的前 n 项为和 Sn,点 在直线 上.数列b n满足),(n21xy,前 9 项和为 153.1),(023*1 bNbbnn 且()求数列a n、b n的通项公式;()设 ,数列c n的前 n 和为 Tn,求使不等式 对一)2(nnac 57kTn20070410切
8、都成立的最大正整数 k 的值.*Nn20(本小题满分 14 分)已知双曲线的中心在原点 O,右焦点为 F(c,0 ),P 是双曲线右支上一点,且OEP 的面积为 .26()若点 P 的坐标为 ,求此双曲线的离心率;)3,(()若 ,当 取得最小值时,求此双曲线的方程.216cFO |OP参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C 6B 7A 8D二、填空题963,82,55 102 112 1216, 3213 ,(4,6)或(4,6) 143,0,三、解答题15解:()因为 12)(baxf1)cos,()sin,coxx 2 分1)cosincos(2xx124 分ssi6 分)4n(
9、x所以 的最小正周期是 7 分)(xf .2T()依条件得 9 分).(32Zkxk解得 11 分).(8783Zk又 .815,0 xxx所 以即当 时,f(x )的单调减区间是 13 分2 .,7,316解:()甲队以二比一获胜,即前两场中甲胜 1 场,第三场甲获胜,其概率为6 分.2806.4.012CP()乙队以 2:0 获胜的概率为 ;6.04P乙队以 2:1 获胜的概率为 192.12C乙队获胜的概率为 8 分352.0.4.2 ()若三场两胜,则甲获胜的概率648.02.36.0.60.123 CP或 ;4835若五场三胜,则甲获胜的概率6.04.6.0.6.0 224233 C
10、12 分8573591,3P采用五场三胜制,甲获胜的概率将增大. 13 分17方法一:()因为 E、F 分别是棱 AD、CD 的中点,所以 EFAC.所以BCA 是 EF 与 BC 所成角. 2 分正四面体 ABCD,ABC 为正三角形,所以BCA = 60.即 EF 与 BC 所成角的大小是 60 3 分 ()解法 1:如图,连结 AO,AF,因为 F 是 CD 的中点,且ACD, BCD 均为正三角形,所以 BFCD,AF CD.因为 BFAF = F,所以 CD面 AFB. 4 分因为 CD 在 ACD,所以面 AFB面 ACD. 5 分因为 ABCD 是正四面体,且 O 是点 A 在面
11、 BCD 内的射影,所以点 O 必在正三角形 BCD 的中线 BF 上,在面 ABF 中,过 O 做 OGAF,垂足为 G,所以 OG在 ACD.即 OG 的长为点 O 到面 ACD 的距离.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,在ABF 中,容易求出 AF = BF= ,OF= ,AO = ,2363因为AOF OGF,故由相似比易求出 OG = .96所以点 O 到平面 ACD 的距离是 8 分.解法 2:如图,连结 AO,CO,DO,所以点 O 到平面 ACD 的距离就是三棱锥OACD 底面 ACD 上的高 h.与解法 1 同理容易求出 OF= ,AO = ,4 分63所以 VACOD
12、= .2)12(3因为 VOACD = VACOD, 5 分所以 = VOACD = 6 分62).3(h解得 8 分.9h()连结 OD,设 OD 的中点为 K,连 EK,则 EKAO.因为 AO面 BCD,所以 EK面 BCD.在平在 BCD 内,过点 K 作 KNCD,KN 交 BF于 M,交 BC 于 N,因为 BFCD,所以 KNBF.连结 EM,所以 EMBF.所以NME 是所求二面角的平面角. 10 分因为 EK = CH = ,2163MK = ED = AD = ,4所以 .32tanMKFE所以 .6)tan(t EN所以所求二面角的大小为 13 分.32rcta方法二:如
13、图,以点 A 在面 BCD 的射影 O 为坐标原点,有向直线 OA 为 z 轴,有向直线 BF 为 y 轴,x 轴为过点O 与 DC 平行的有向直线.因为正四面体 ABCD 的棱长为 1,所以可以求出各点的坐标依次为:O(0,0,0),A(0,0, ),B(0, ,0)363C( ),D( ),0,6210,21E( ),F( ),34,63()因为 )0,231(),12(BC又 ,1|,2|1|,48634 BCAEFBCEF且所以 .214,cosBCEF所以 EF 与 BC 所成角的大小是 60. 3 分()因为 ,)63,21(),63,21( ADA设平面 ACD 的一个法向量为 ,,1zyxFC由 ).2,0(,0,0 ADADACDF解 得因为 ,3|,),63,(ACACFO所以点 O 到平面 ACD 的距离等于 8 分.962| ACDd()因为 ,)0,63(),6,341(OFEF设平面 BEF 的一个法向量为 ,,2zyxBE由 ,0,0FBEF可得平面 BEF 的一个法向量 10 分)3,6(BE容易得到平面 BDF 的一个法向量 .1CF因为 ,|,|,3 BBEBCFE所以