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1、 第 - 1 - 页 第五章万有引力定律第一单元)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比(2)公式：FG ,其中 ，称为为有引力恒量。21(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r 应为两物体重
2、心间的距离对于均匀的球体,注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量 G 的物理意义是：G 在数值上等于质量均为 1 千克的两个质点相距 1 米时相互作用的万有引力三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力 F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度 赤道到两极逐渐增大通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即 , g=GM/用来计算
3、星球表面重力加速度的21地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即 M/（r+h） 2，比较得 ） 2赤道处，物体的万有引力分解为两个分力 F 向 和 好在一条直线上，则有F F 向 m 2g， 第 - 2 - 页 所以 一 F 向 G m 2 21 2,所以 G 21 自 变大，由 m 2 2知物体的重力将变小，当 2时，m 2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度 自 1r，g,天体半径为 R，由 得 g= ,由此推得两个不同天体2五天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力G =m r，由此可得： M= ；=
4、 = = （R 为行星的半径）2342要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径 r 及运行周期 T，就可以算出天体的质量 M若知道行星的半径则可得行星的密度规律方法1、万有引力定律的基本应用【例 1】如图所示，在一个半径为 R、质量为 M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为 R/2 的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大？分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解解 完整的均质球体对球外质点 m 的引力这个引力可以看成是：m 挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 ，即 F=2因半径为 R/2 的小球质量 M/为，
5、则 22/2 /8 第 - 3 - 页 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力221 /8 22/87说明 （1 ）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解这是不正确的万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式 却只能适用于两个质点或均匀球体，2去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力（2 ）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点 m 的引力 2222/21 87/上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点
6、的引力一样【例 2】某物体在地面上受到的重力为 160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度 a物体与卫星中的支持物的相互压力为 90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径 R0 3km,g 取 10m/析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h，火箭上物体受到的支持力为 N,物体受到的重力为 据牛顿第二定律N=在 h 高处 在地球表面处 22代入得 =04 1本问题中，牢记基本思路,一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力【例 3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是 气球停在某一高度时，测得该单摆周期为 T。求该气球此时离海平面的高
7、度h。把地球看作质量均匀分布的半径为 R 的球体。解析：根据单摆周期公式： 其中 l 是单摆长度，g 0和 g 分别是两地,200,2据万有引力公式得 其中 G 是引力常数，M 是,2(2h地球质量。 第 - 4 - 页 由以上各式解得 10【例 4】登月火箭关闭发动机在离月球表面 112 空中沿圆形轨道运动，周期是 120.5 球的半径是 1740 据这组数据计算月球的质量和平均密度解析：设月球半径为 R，月球质量为 M，月球密度为 ，登月火箭轨道离月球表面为 h，运动周期为 T，火箭质量为 m，由 r2=2 得 M=42） ，=M/V ，其中V=42，则 F 向 =r=+h ）/T 2，F
8、 引 =R+h） 2，火箭沿轨道运行时有 F 引 =即 R+h） 2= +h ）/T 2故 M=42（R+h） 3/（） 2=022=3M/4R 3=03kg/ 5】已知火星上大气压是地球的 1/200火星直径约为球直径的一半，地球平均密度 地 =03kg/星平均密度 火 =4103kg/求火星上大气质量与地球大气质量之比分析 包围天体的大气被吸向天体的力就是作用在整个天体表面（把它看成平面时）的大气压力利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它们的大气质量之比解 设火星和地球上的大气质量、重力加速度分别为 m 火 、g 火 、m 地 、g 地 ，火星和地球上的大气压分别为 据
9、万有引力公式，火星和地球上的重力加速度，火火 地地 分别为 火综合上述三式得，地 地地地火火火式 中 3344R， 火地火地地火地火 【例 6】一个宇航员在半径为 R 的星球上以初速度 直上抛一物体，经 物体落回宇航员手中为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？解析：物体抛出后，受恒定的星球引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律设星球对物体产生的“重力加速度”为 由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。 第 - 5 - 页 ，这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇
10、宙速度。【例 7】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道半径为 r，周期为 T。火星可视为半径为 析：第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算，均要知道火星表面的重力加速度 g/。利用火星的一个卫星的相关数据可以求出 g/。解：设火星的一个卫星质量为 m，任一物体的质
11、量为 m/，在火星表面的重力加速度为 g/，火星的质量为 M。任一物体在火星表面有: 火星的卫星应满足：/20/第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足：v 122g /h第二次落到火星表面时速度应按平抛处理： 20v由以上 4 式可解得 20382、讨论天体运动规律的基本思路基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 【例 8】2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经 980 的经线在同一平面内若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经 980 和北纬 40 0，已知地球半径 R、地球自转周期 T,地球表面重力加速度 g（视为常数）和光速
12、c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示） 解析：设 m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到 第 - 6 - 页 地球中心的距离， 为卫星绕地心转动的角速度由万有引力定律和牛顿定律有，式中 G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度 与地球自转的22速度相等，有 =2/T；因 ，得 GM=设嘉峪关到同步卫星的距离为 L，如图所示，由余弦定律得： 所求的时间为 tL/c由以上各式得 2232 4 【例 9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为 L，质量分别为 计算：（1）双星的轨道半径；（ 2）双星的运行周期；（ 3）双星的线速度。解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同；而轨道半径
