《2013版高中全程复习方略配套课件：13.1平行截割定理与相似三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版高中全程复习方略配套课件：13.1平行截割定理与相似三角形（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 平行截割定理与相似三角形,三年1考 高考指数:,1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理及推论： 定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段 . 推论1：经过梯形一腰中点而平行于底边的直线 . 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 .,也相等,平分另一腰,平分第三边,(2)平行线分线段成比例定理及推论： 定理:两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的 对应线段 . 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段 .,成比例,成比例,【即时应用】 如图，在四边形ABCD中，EFBC,
2、FGAD, 则 = . 【解析】由EFBC得 由FGAD得 故 答案：1,2.相似三角形的判定定理及推论 (1)定理： 对应相等的两个三角形相似； 两边 且 相等的两个三角形相似； 三边 的两个三角形相似. (2)推论： 如果一条直线与三角形的一条边 ，且与三角形另两条边相 交，则截得的三角形与原三角形相似.,两角,对应成比例,夹角,对应成比例,平行,【即时应用】 (1)如图，已知ABC中，P是AB上的 一点，连结CP，则下列条件： 1=B，2=ACB, AC2=APAB， ，能满足ACP与ABC相似的是 (填序号).,(2)判断下列说法是否正确(请在括号内打“”或“”). 所有的等腰三角形都
3、相似. ( ) 所有的等边三角形都相似. ( ) 所有的等腰直角三角形都相似. ( ) 所有的直角三角形都相似 ( ),【解析】(1)由图形知，两个三角形有一个公共角A，根据相 似三角形的判定定理，只要再有另一对对应角相等或夹A的对 应边成比例，则两个三角形相似，因此能满足ACP与ABC相 似的条件是. (2)所有等腰三角形不一定相似，故错;符合三边对应成比 例，故相似，正确；符合两边对应成比例，夹角相等，故相 似，正确;所有的直角三角形不一定相似,故错. 答案：(1) (2) ,3.相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段的比等于 ; 相似三角形的面积比等于 .,相似比,相似比的平方,【即
4、时应用】 如图，梯形ABCD中，ABCD，EF过 对角线的交点O，且EOOF12， 则ABDC ，OCCA ， AOB的周长COD的周长 ，SCODSAOB ，SCODSABC ,【解析】由条件可证OABOCD, OAFOCE,故ABDC OAOC=FOEO=21, OCCA13, 于是AOB的周长COD的周长21, SCODSAOB14; 因DOOB=EOOF=12,故SBOC=2SDOC,从而 SABC=6SDOC得SCODSABC16 答案：1 13 21 14 16,4.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在 上射影与 _的乘积，斜边上的高的平方等于 在 上 射影
5、的乘积.,斜边,两条直角边,斜边,斜边,【即时应用】 如图，已知RtABC的两条直角边AC， BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直 径的圆与AB交于点D，则BD cm. 【解析】连结CD，则CDAB,由直角三角形射影定理可得 BC2=BDBA,又BC=4 cm,BA= =5 (cm),所以BD= cm. 答案：,相似三角形的判定与应用 【方法点睛】 1.证明三角形相似的方法 (1)已知有一角相等时，可选择判定定理1或判定定理2; (2)已知有二边对应成比例时，可选择判定定理2或判定定理3;,(3)判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角 形相似的方法(斜边与一条直角边对应成比
6、例的两个直角三角形相似)来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定,2.相似三角形的判定定理的作用 (1)可以用来判定两个三角形相似； (2)间接证明角相等、线段成比例； (3)间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件,【例1】(2011陕西高考改编)如图, BD，AEBC，ACD90， 且AB6，AC4，AD12，求BE之长. 【解题指南】本题条件中，已知两角相等，且有直角与垂直，所以考虑证两三角形相似，利用对应边成比例来计算边长.,【规范解答】在RtADC中，CD ； 在RtADC与RtABE中，BD， 所以ADCABE， 故 ，,【反思感悟】在三角形中，有关线段(角)的计算
7、问题，主要 有下列方法： (1)若所求线段(角)与已知线段(角)在同一三角形中，则证其 为等腰三角形； (2)若所求线段(角)与已知线段(角)在两个三角形中，则其一 是通过全等三角形证所求线段(角)与已知线段(角)相等，或所 求线段(角)等于已知线段(角)之和或差；其二是 利用相似三角形证所求线段与已知线段成比例， 或所求角等于对应的已知角，从而求之.,【变式训练】如图，在ABC中， BAC=90，ADBC于D， E为AC中点，DE交BA的延长线于F. 求证：ABAC=BFDF. 【证明】ABAC，ADBC， RtABDRtCAD，DACB， ,又ADBC，E为AC中点， DEAE，DAEAD
8、E， BADE. 又FF， FDBFAD， 由得,相似三角形性质的应用 【方法点睛】 相似三角形性质的应用 (1)有关三角形的面积关系，主要有两类： 当两个三角形相似时，用相似三角形的面积比等于相似比的 平方来转化三角形的面积； 当两个三角形同(等)高或同(等)底时，用三角形的面积之比 等于底边之比或对应高之比来转化三角形的面积 (2)相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉 平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方.,【例2】如图，在ABC中，点D、E 分别是边AB、AC的中点，DF过EC的 中点G并与BC的延长线交于点F，BE 与DF交于点O若ADE的面积为S, 求四
9、边形BOGC的面积,【解题指南】本题条件中已知“中点”，联想到三角形的中位 线定理，从而可得平行线段，再得相似三角形，从而根据相似 三角形的性质计算所求图形的面积. 【规范解答】点D、E分别是边AB、AC的中点， DEBC且DE= BC, ADEABC，其相似比为 ，面积比为 ， ADE的面积为S， ABC的面积为4S，四边形DBCE的面积为3S,D是边AB的中点， 又DEBC，DEGFCG, 而G为EC中点， 故相似比为1，即DE=FC, 同理DEOFBO，而BF=3DE,BO=3EO， SDOB= AE=EC=2EG，SDEG= , S四边形BOGC=S四边形BCED-SDOB-SDEG,
10、【反思感悟】高中几何证明选讲中的相似三角形性质是根据初中相似三角形性质:“对应角平分线、对应中线、对应高、对应周长的比等于相似比”而得到的，例如根据“三角形面积等于三角形的一边与这边上的高乘积的一半”而推导得 “相似三角形的面积比等于相似比的平方”,所以证题时, 应多多联想到相似三角形的相关性质.,【变式训练】如图，在ABC中， D是AC的中点，E是BD的中点， AE交BC于F. (1)求 的值； (2)若BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2， 求S1S2的值,【解析】(1)过D点作DGBC， 并交AF于G点， E是BD的中点，BE=DE， 又EBF=EDG，BEF=DEG， BEF
11、DEG，则BF=DG， BFFC=DGFC， 又D是AC的中点，则DGFC=12，则BFFC=12.,(2)若BEF以BF为底，BDC以BC为底， 则由(1)知BFBC=13， 又由BEBD=12可知h1h2=12，其中h1、h2分别 为BEF和BDC的高， 则 则S1S2=15,【变式备选】如图，正方形 ABCD中，E为AB的中点，F为 CD延长线上一点，且FEC= FCE，EF交AD于P. 求证：SAEP=4SPDF. 【证明】过F作FGCE于G，则CG= CE, 四边形ABCD是正方形, ABCD，AB=BC=CD，B=90,BEC=FCE，B=FGC=90, BCEGFC, 设AE=B
12、E=x，则BC=CD=AB=2x, CE= DF= AE,ABCD， AEPDFP， SAEP=4SDFP.,直角三角形中射影定理的应用 【方法点睛】 直角三角形中成比例线段问题的解决方法 (1)如图，RtABC中，若CD为高， 则有CD2=BDAD，BC2=BDAB， AC2=ADAB，利用上面等积式和 勾股定理，已知图中的任意两条线段，可求出其余四条线段. (2)直角三角形中出现斜边上的高这一条件时，射影定理是经常使用的结论，注意灵活运用.,【例3】已知：如图，在直角三角形 ABC中，BAC90，ABAC， D为BC的中点，E为AC上一点， 点G在BE上，连结DG并延长交AE于F， 若FG
13、E45 (1)求证：BDBCBGBE； (2)求证：AGBE.,【解题指南】(1)欲证乘积式，即证比例式，因此将此四边放置于两个相似三角形中证之；(2)因本题条件中具有直角，故欲证两线垂直，可证其交角与直角相等，即证其所在三角形与直角三角形相似，这从第(1)小题所得结论与射影定理结合，即可证得.,【规范解答】(1)BAC90，ABAC, BCE45, BGDFGE45,BGDBCE, 又GBDCBE,GBDCBE. 即BDBCBGBE.,(2)ABAC，D为BC的中点， BCAD,又BAC90, 又由射影定理AB2=BDBC，从而AB2=BGBE，即 又ABGEBA, ABGEBA,BGABA
14、E90,AGBE.,【互动探究】若例3题干不变，E为AC的中点，求EFFD的值 【解析】记AE=EC=a，则AB=2a，BE= a，CD= a， 结合射影定理，可得GE= FGEFCD45, GFECFD,FGEFCD. EFFD=EGDC=,【反思感悟】由于在直角三角形中添加斜边上的高得到“双 垂直”的基本图形，其中有三对相似三角形，这个图形在相似 三角形中非常重要.可用来证明对应线段成比例等.,【变式备选】(2012常州模拟)如图， BD、CE分别是ABC的两边上的高， 过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延 长线于F、H，求证： (1)DG2=BGCG； (2)BGCG=GFGH.,【证明】(1)DG为RtBCD斜边上的高， 由射影定理得DG2=BGCG. (2)DGBC, ABC+H=90,CEAB， ABC+ECB=90. ABC+H=ABC+ECB.H=ECB. 又HGB=FGC=90,RtHBGRtCFG. BGGC=GFGH.,
