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1、【备战213高考数学专题讲座】第9讲:数学解题方法之待定系数法探讨江苏泰州锦元数学工作室 编辑讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中,常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数（或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法,来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于高中数学教材的各个部分,在全国各地高考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒
2、等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法;消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组),从而使问题获解。例如:“设，的反函数,那么的值依次为 ”，解答此题，并不困难,只需先将化为反函数形式，与中对应项的系数加以比较后，就可得到关于的方程组，从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组）,从而使问题获解。例如:“与直线:平行且过点A(，-4)的直线L的方程是 ”,解答此题,只需设定直线L的方程为，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线的方程。这里的就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量
3、用它表示，代入所求,从而使问题获解。例如:“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则，代入即可求解。这里的就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；()根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);(3）解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。结合2年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：(1）待定系数法在函数问题中的应用;（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（)待定系数法在三角函数问题中的应用;()待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用：典型例题：【版权归锦元数学
4、工作室，不得转载】例1. (012年浙江省理4分）若将函数表示为，其中,，,为实数,则 .【答案】10。【考点】二项式定理，导数的应用。【解析】 用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得。或对等式:两边连续对x求导三次得：,再运用特殊元素法,令得:,即。例2.（201年山东省文4分)若函数在1,上的最大值为，最小值为m，且函数在上是增函数,则 . 【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】,。当时,，函数是增函数,在-1，上的最大值为，最小值为。此时,它在上是减函数，与题设不符。当时,，函数是减函数,在-1,2上的最大值为,最小值为。此时，它在上是增函数,符合题意。综上所述，满足条件的。 例3（
5、02年江苏省分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,其中.若，则的值为 【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】是定义在上且周期为2的函数，即。 又， 。 联立，解得，。例.(012年全国大纲卷文分)已知函数（1）讨论的单调性;（2)设有两个极值点,，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值【答案】解：（)， 当 时,，且仅当时。是增函数。 当 时,有两个根。列表如下:的增减性0增函数0增函数 (2)由题设知,，是的两个根，且。 。 同理,。 直线的解析式为。 设直线与轴的交点为，则,解得。 代入得 , 在轴上， 解得，或或。【考点】函数的单调性和极值,导数的应用。【解析】（1)求出导
6、函数,分区间讨论即可。 （2)由,是的两个根和（1)的结论,得，求出关于的表达式和关于的表达式,从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入，由其等于0,求出的值。例. （212年全国课标卷文5分)设函数（)求的单调区间(）若a1，k为整数，且当0时,，求k的最大值【答案】解:（I)f(x）的的定义域为,。 若，则,在上单调递增。 若,则当时，;当时,，在上单调递减，在上单调递增。 ()=1,。 当0时,，它等价于。 令，则。 由()知，函数在上单调递增。 ，在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点,设此零点为,则。 当时，;当时,。 在上的最小值为。 又，即,。 因此,即整数k的最大值为2。【
7、考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x时,等价于,令，求出导数,根据函数的零点情况求出整数的最大值。二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用：典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1. (202年全国课标卷理分)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为【 】 【答案】。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质,锐角三角函数定义。【解析】是椭圆的左、右焦点,。是底角为的等腰三角形，。为直线上一点，。又，即。故选。例.(012年全国课标卷理分）等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为【 】
8、 【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。 与抛物线的准线交于两点,， ，。 设，则，得,。故选。例3. (12年山东省理分）已知椭圆：的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【 】A B C 【答案】D。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解析】双曲线的渐近线方程为,代入可得。又根据椭圆对称性质,知所构成的四边形是正方形，,即。又由椭圆的离心率为可得。联立，解得。椭圆方程为。故选D。例4. （212年湖南省理5分）已知双曲线C:的焦距为10 ,点P （,1)在C 的渐近线上,则C的方程为【 】. B. C D. #w.
9、zz&【答案】A。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线C:的半焦距为，则。的渐近线为,点P（，1)在C 的渐近线上,，即。又,，C的方程为。故选A。例. (202年福建省理5分）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】A B.4 C3 D【答案】A。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F（3,), 双曲线1的右焦点与抛物线=1x的焦点重合, 双曲线的焦点为F(c,0),且。 双曲线的渐近线方程为：y,双曲线焦点到渐近线的距离=b。故选A。例. (212年浙江省理分)定义：曲线上的点到直线的距
10、离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线:到直线：的距离等于曲线：到直线:的距离,则实数 .【答案】。【考点】新定义,点到直线的距离。【解析】由2:x 2（y+4) =得圆心（0,4),则圆心到直线l：yx的距离为：。由定义，曲线C到直线:y=x的距离为。又由曲线：x 2+a，令，得:,则曲线C1：yx 2+a到直线:y=x的距离的点为(,)。例7. (201年重庆市理5分)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .【答案】。【考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质，方程思想的应用。【分析】设直线的方程为(由题意知直线的斜率存在且不为0)，代入抛物线方程，整理得。设，则。又,。，解得。代
11、入得。,。例8. （1年陕西省理5分)下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降米后，水面宽 米【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为， 当水面在时，拱顶离水面2米,水面宽4米，抛物线过点(2,2,)代入得，即。抛物线方程为。当时,，水位下降米后,水面宽米。例9.（012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 .【答案】。【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离。【解析】圆的方程可化为:，圆C的圆心为，半径为1。由题意,直线上至少存在一点，以该
12、点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;存在，使得成立，即。即为点到直线的距离,解得。的最大值是。例10 （201年全国大纲卷理12分）已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。()求；（2)设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。【答案】解:（1）设，对求导得。直线的斜率，当时，不合题意，。圆心为,的斜率,由知,即，解得。（2)设为上一点，则在该点处的切线方程为即。若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为，即,化简可得，解得。抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为 。-得,将代入得，故。到直线的距离为。【考点】抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。【解析】()两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标,根据两直线垂直斜率的积为1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距
