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1、2013-2014 学年度第一学期北京育才学校高三数学（理科）期中考试试卷一、选择题（8 道小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 已知全集 ，集合 ，则 ( )=RU2|1AxUCAA. B. C. D.(,1)(,)(,),1,2. 下面是关于复数 的四个命题:zi: , 的共轭复数为 的虚部为1p2z2:p3:pzi4:pz1其中真命题为 （ ）.A23,.B12,.C24,.D34,3. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 （ ）.3yx.cosyx.yx.xye4. 执行如图 所示的程序框图,输出的 值为（ ）1i4 3.A5.B6.C.D5. 用 5，6，7，8，9 组成没有重
2、复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）A 120 B 72 C 48 D 366. 函数 满足对任意成立，则 的取值范围是a（ ）A B C (0,1)D 7. 在长为 的线段 上任取一点 ，分别以线段cmA 是否 1i结束输出 i10?s12i开始 ,0is图1图12111)0(4)3(,)xaxfx,2121ffx都 有 (,)410,)4的长为邻边做一个矩形，则该矩形面积大于 的概率为（ ）,ACB29cm.10.45.C310.D158. 已知函数 对任意的 都存在2,2,fxgxa1,x,使得 则实数 的取值范围是（ ）001(),f.A1,2.B,
3、32.C3,.0,3二、填空题（6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 在 展开式中 的系数为 ,则实数 的值为 . 7ax4x3a10. 已知向量 / ，则 =_(,cos),(tn)bb2cos11. 已知直线 的参数方程为 ( 为参数)，圆 的参数方程为l21yttC( 为参数), 则圆心 到直线 的距离为 .cos2inxyCl12. 不 等 式 的 解 集 为 ,则 _ 20xab2baxd13. 如图 2，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ，OAP30，则 CP_.2a314. 我们可以利用数列 的递推公式na2,na为 奇
4、数 时 ，为 偶 数 时（ ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则n*N_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8 个 5 是该245a数列的第_项.三、解答题（6 道小题，共 80 分）图 2频 率组 距0.0280.0250.0200.012 x0.005分钟O 10 20 30 40 50 60图 315. 设函数 （ ） ，已知数列xfalog)(1,0a为 常 数 且 ),(1xf,2是公差为 2 的等差数列，且 . ,nxf 21x（）求数列 的通项公式；n（）当 时，求证： .21a321nxx16. 在锐角 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、
5、 向量ABCCab,c,且 .3sin,co,1mmn（1）求角 的大小；（2）求函数 的单调减区间；()i2)fx（3 ）若 面积为 , , 求 的值。ABC325bacac17. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100名观众进行调查,如图 是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频 率 分3布 直 方 图 ,其 中 收 看 时 间 分 组 区 间 是: ,0,1,20,3,405.506将日均收看该类体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”.（1 ）求图中 的值; x（2 ）从“体育迷”中随机抽取 人，2该 人中日均收看该类体育
6、节目时间在区间 内的人数记为 ，50,6X求 的数学期望 .XE18. 设函数 ()sinco1fxxa（1 ）当 ， 时，求函数 的单调区间与极值；a0,2x()fx（2 ）若函数 为单调函数，求实数 的取值范围。()f a19. 已知函数 斜率为 1 的直线与函数 的图象相切于()1)ln,fxbx ()fx（1，0）点。（）求 的单调区间；()lhf（）当实数 时，讨论 的极值点.1a 21()()lngxfaxa20. 如果由数列 生成的数列 满足对任意的 均有 ，其中nanbn*N1nb，则称数列 为“ 数列”.1nbaZ（）在数列 中，已知 ，试判断数列 是否为“ 数列” ；n2n
7、naZ（）若数列 是“ 数列” ， ， ，求 ；aZ10nb（）若数列 是“ 数列” ，设 ，且 ，求证： .n,stm*Nsttmstsaa期中 答案1 2 3 4 5 6 7 8B C C A D D B A9、1 10、 11、 12、 13、 a 14、725321398 28,64015、 （ 13 分）解：（） nxfdaxf n2)1(2)(2log)(21 6 分nnaxl:即（）当 时， 2n413 分16、 （ 13 分）解(1) : nm3,sinco,1B3cosin1B,00cosi为锐角三角形, , ABCsta. 4 分023（2 ） 8 分7,12kkZ（3 ）
8、由 ,得 , Bacbos2acb22代入 得 ,得 . 5ac55由题设 ,得 3sinin4ABCSc346ac联立 , 解得 或 13 分6ac2,ac.17、解:(1)由题设可知 , 0.5.10.250.281x314314121 nnnxx解之得 4 分0.1x(2)由题设知收看该类体育节目时间在区间 内的人数为 人, 50,60.510“体育迷”的人数为 ,.1所以 的可能取值为 , X2, 051237Cp5102CpX2051CpX的数学期望 . 13 分13E18、 （13 分）(1) , ()12().423()0()4) xxxx 解 ： 由 f=sin-co+,0知
9、fsin令 ， 从 面 i， 得 ， 或 ，当 变 化 时 ， f， 变 化 情 况 如 下 表 ： 3233222 因 此 ， 由 上 表 知 f(x)的 单 调 递 增 区 间 是 （ 0， ） 与 （ ， ） ，单 调 递 增 区 间 是 （ ， ） ， 极 小 值 为 f()=， 极 大 值 为 f()=8 分（2） ()sin()4fxxa恒成立 或 恒成立0f0f13 分(,2,)a19、 （ 14 分）20、 （ 14 分）解：（）因为 ，2na所以 ， ， 2 分21(1)1bnn*N所以 ，n所以 ，数列 是“ 数列”. 4 分1naZ（）因为 ，nb所以 ， ， ，21a32b1(1)nnab所以 （ ） ，6 分(1)()nn 2所以 （ ） ， ()2又 ，所以 （ ）. 8 分10a(1)n*N（）因为 ，111()smsmsssmsaab ，()tttt tttt 10 分又 ，且 ，所以 ， ， ，,st*Nstsitsitibn*N所以 ， 12 分122,mtmt tbb所以 ，即 . 14 分ttssaatsmtsa
