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1、2月大数据精选模拟卷01（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则（ ）A0B1CD2【答案】C【详解】，.2已知集合，则集合（ ）ABCD【答案】C【详解】已知集合，则.3皮埃尔德费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（ ）A
2、BCD【答案】A【详解】从中任取2个数：共12种方法；符合题意的共有：共有7种，所以所取两个数符合费马小定理的概率为.4过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，的中点为，且到抛物线的准线距离为4，则（ ）A2B4C6D8【答案】D【详解】到抛物线的准线距离为，则.过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，则.故选：D5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A24B28C32D36【答案】B【详解】根据三视图可知，该几何体是由长宽高分别为的长方体和一个高为的正四棱锥组合而成的组合体，如图： 其体积为.6已知定义在R上的奇函数满足，且当时，其中a为常数，则的值为（ ）A2BCD【答案】
3、B【详解】由题意，函数满足，所以函数的周期为，又由当时，因为函数奇函数，所以，所以，则，令，可得，可得，所以.故选：B7函数的图像最近两对称轴之间的距离为，若该函数图像关于点成中心对称，当时m的值为（ ）ABCD【答案】D【详解】的最小正周期,，所以，令,则,函数f(x)的对称轴心为,所以，当时,解得：,又,8若x2，则函数的最小值为（ ）A3B4C5D6【答案】D【详解】x2，x20，当且仅当，即x4时取等号，函数的最小值为6.故选：D.9已知角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，终边上一点的坐标为，且为锐角，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以点在单位圆上，所以，又为锐角，所以为锐
4、角，结合二倍角公式可得，故选：B10三棱锥中，则三棱锥外接球表面积的最小值是（ ）ABCD【答案】B【详解】设底面外接圆圆心为，半径为，则，即.设三棱锥高为，球的半径为.由，得球心在上，且，则，当且仅当时等号成立，此时外接球表面积最小，则.故选：B11已知双曲线的离心率为2，则双曲线的离心率是（ ）A2BCD【答案】B【详解】因为双曲线的离心率为2，所以离心率，所以，所以双曲线的离心率为.故选：B.12设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【详解】由不等式对恒成立，即为，即对恒成立，设，由，可得在上递增，且，当时，；，作出的图象，再设，可得表示过，斜率为的一条射线（不含
5、端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，由于点在轴上移动，只需找到合适的，且切于点，如图所示：此时，即的最大值为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】6【详解】解：根据约束条件画出可行域如下图所示：作直线：，平移直线，当其过点时，取得最大值，最大值为.14若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为_.【答案】【详解】由题意，又，所以，所以切线方程为：，即.15平面向量，的夹角为，且，则的最大值为_.【答案】【详解】，因为，所以，所以，所以，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.16在棱长为的正方
6、体中，棱，的中点分别为，点在平面内，作平面，垂足为.当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_.【答案】【详解】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图即再平面的正投影为，且，点的轨迹所组成的图形的面积为，三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知各项均为正数的等差数列中，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为.因为，成等比数列，所以，即，整理可得或，而，且，所以，解得，所以，即数列的通项公式；（2）由（1
7、）可得，所以.18如图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20142020（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2022年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【详解】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：因为，所以，故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）由（1），结合题中数据可得，y关于t的回归方程，2022年对应的t值为9，故，预测202
8、2年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨19如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.【详解】（1）连接且E是的中点，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又为菱形，且分别为棱的中点，.，又平面；平面.（2）如图，连接，设，则，则，又. 解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.20已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、.设是椭圆上一点，满足轴，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过且倾斜角为45的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.【详解】（1）由条件可知，解得：，所以椭圆的标准方程是；（2）设直线，直
9、线与椭圆方程联立，得，.21已知函数在处取得极值，.（1）求的值与的单调区间；（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，求实数的取值范围.【详解】（1）由题意得的定义域为，函数在处取得极值，解得，则由得或，、的关系如下表：极大值极小值函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）得函数，当时，对任意、，都有，即当，时，在上单调递减，在上单调递减，则，则，即，解得或，结合，得，故实数的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求【详解】（1）由得，平方相加利用消去参数可得，故曲线的普通方程为，将代入直线方程得，故直线的普通方程为；（2）可知曲线是以为圆心，3为半径的圆，则圆心到直线的距离，解得或2.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求实数m的取值范围【详解】（1）由不等式可得：，可化为：，或，或，解得：，或，或，综上不等式的解集为 （2）因为，当且仅当时，等号成立.所以，由不等式的解集为空集，得，所以，解得或，所以，实数的取值范围为
